$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ limitinin değeri nedir?
A) 0Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün matematikte çok önemli ve temel bir limit sorusunu adım adım, anlaşılır bir şekilde çözeceğiz. Bu limit, türev kavramının temelini oluşturan ve birçok ileri matematik konusunda karşımıza çıkan bir ifadedir. Hazırsanız başlayalım!
Bize sorulan limit ifadesi şudur: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$.
Öncelikle, $x$ yerine $0$ koyarak bu limiti doğrudan hesaplamaya çalışalım:
Bu durumda, limitimiz $\frac{0}{0}$ belirsizliği şeklini alır. Matematikte $\frac{0}{0}$ veya $\frac{\infty}{\infty}$ gibi belirsiz durumlarla karşılaştığımızda, limiti doğrudan hesaplayamayız ve özel yöntemlere başvurmamız gerekir. Bu yöntemlerden biri de L'Hôpital Kuralı'dır.
L'Hôpital Kuralı, $\frac{0}{0}$ veya $\frac{\infty}{\infty}$ belirsizliklerinde, payın ve paydanın ayrı ayrı türevlerini alarak limiti yeniden değerlendirmemizi sağlar. Kurala göre:
Eğer $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ ifadesi $\frac{0}{0}$ veya $\frac{\infty}{\infty}$ belirsizliği veriyorsa, o zaman $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ olur.
Şimdi bu kuralı problemimize uygulayalım:
Bu türevleri limit ifadesinde yerine koyarsak, yeni limitimiz şöyle olur:
$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1}$
Artık yeni limit ifadesinde $x$ yerine $0$ koyarak doğrudan hesaplama yapabiliriz:
Böylece limitin değeri:
$\frac{1}{1} = 1$ olarak bulunur.
Gördüğümüz gibi, L'Hôpital Kuralı'nı kullanarak $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ limitinin değerini $1$ olarak bulduk. Bu limit, trigonometrik fonksiyonların türevlerinin ispatında ve daha birçok matematiksel hesaplamada temel bir rol oynar.
Cevap B seçeneğidir.
