Belirli integralin özellikleri Test 1

f(x) tek fonksiyon olduğuna göre, ∫₋ₐᵃ f(x) dx integralinin değeri nedir?

A) 0
B) 2∫₀ᵃ f(x) dx
C) ∫₀ᵃ f(x) dx
D) -∫₀ᵃ f(x) dx

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün sizlerle tek fonksiyonların belirli integralleri üzerine önemli bir kuralı inceleyeceğiz. Soruyu adım adım, anlaşılır bir şekilde çözelim.

• 1. Adım: Tek Fonksiyon Nedir?

  Bir $f(x)$ fonksiyonunun tek fonksiyon olması demek, tanım kümesindeki her $x$ değeri için $f(-x) = -f(x)$ eşitliğini sağlaması demektir. Geometrik olarak, tek fonksiyonlar orijine göre simetriktir.

  Örnekler: $f(x) = x^3$, $f(x) = \sin(x)$, $f(x) = x^5 - 2x$ gibi fonksiyonlar tek fonksiyonlardır.

• 2. Adım: İntegrali Parçalama

  Belirli integralin bir özelliğine göre, $\int_{-a}^{a} f(x) dx$ integralini iki parçaya ayırabiliriz:

  $\int_{-a}^{a} f(x) dx = \int_{-a}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{a} f(x) dx$

  Şimdi, bu iki parçadan ilkini, yani $\int_{-a}^{0} f(x) dx$ integralini inceleyelim.

• 3. Adım: İlk Parçayı Dönüştürme (Değişken Değişimi)

  $\int_{-a}^{0} f(x) dx$ integralinde bir değişken değişimi yapalım:

  • $u = -x$ diyelim.
  • Bu durumda $x = -u$ olur.
  • Diferansiyelini alırsak, $dx = -du$ olur.
  • İntegral sınırlarını da değiştirmemiz gerekir:
    • Eğer $x = -a$ ise, $u = -(-a) = a$ olur.
    • Eğer $x = 0$ ise, $u = -(0) = 0$ olur.

  Şimdi bu değerleri integralde yerine yazalım:

  $\int_{-a}^{0} f(x) dx = \int_{a}^{0} f(-u) (-du)$

• 4. Adım: İntegral Özelliklerini Kullanma

  İntegralin sınırlarını ters çevirdiğimizde işaret değişir: $\int_{b}^{a} g(x) dx = -\int_{a}^{b} g(x) dx$. Bu kuralı uygulayalım:

  $\int_{a}^{0} f(-u) (-du) = -\int_{0}^{a} f(-u) (-du) = \int_{0}^{a} f(-u) du$

  Şimdi, $f(x)$'in tek fonksiyon olma özelliğini kullanalım: $f(-u) = -f(u)$.

  $\int_{0}^{a} f(-u) du = \int_{0}^{a} (-f(u)) du = -\int_{0}^{a} f(u) du$

  İntegral değişkeninin adı sonucu değiştirmez, yani $\int_{0}^{a} f(u) du = \int_{0}^{a} f(x) dx$ yazabiliriz.

  Dolayısıyla, $\int_{-a}^{0} f(x) dx = -\int_{0}^{a} f(x) dx$ sonucunu elde ederiz.

• 5. Adım: Sonucu Birleştirme

  Başlangıçtaki integralimizi hatırlayalım:

  $\int_{-a}^{a} f(x) dx = \int_{-a}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{a} f(x) dx$

  Bulduğumuz $\int_{-a}^{0} f(x) dx = -\int_{0}^{a} f(x) dx$ eşitliğini yerine yazalım:

  $\int_{-a}^{a} f(x) dx = \left(-\int_{0}^{a} f(x) dx\right) + \int_{0}^{a} f(x) dx$

  Bu ifadeyi sadeleştirdiğimizde:

  $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$

Bu sonuç, tek fonksiyonların simetrik aralıklardaki belirli integrallerinin her zaman sıfır olduğunu gösteren önemli bir kuraldır. Bunun nedeni, fonksiyonun pozitif ve negatif kısımlarının alanlarının birbirini tam olarak götürmesidir.

Cevap A seçeneğidir.