Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, paralel doğrular arasındaki uzaklık kavramını kullanarak bir problem çözeceğiz. Adım adım ilerleyerek konuyu daha iyi anlayalım.
- Adım 1: Paralel Doğruların Özelliğini Anlayalım
- İki doğru birbirine paralelse, eğimleri aynıdır. Genel denklemi $Ax + By + C = 0$ olan bir doğrunun eğimi $m = -\frac{A}{B}$ formülüyle bulunur. Eğer iki doğru paralelse, $A$ ve $B$ katsayıları aynı (veya orantılı) olur, sadece $C$ katsayısı farklılık gösterir.
- Bize verilen doğru $L_1: 3x + 4y + 12 = 0$ şeklindedir. Bu doğrunun $A=3$, $B=4$ ve $C_1=12$ olduğunu görüyoruz.
- Adım 2: Orijinden Geçen Paralel Doğrunun Denklemini Bulalım
- $L_1$ doğrusuna paralel olan bir doğru, $3x + 4y + C_2 = 0$ şeklinde olmalıdır.
- Bu yeni doğrunun orijinden geçtiği belirtilmiş. Orijin noktası $(0,0)$ koordinatlarına sahiptir. Bu noktayı doğru denkleminde yerine yazarak $C_2$ değerini bulabiliriz:
- $3(0) + 4(0) + C_2 = 0$
- $0 + 0 + C_2 = 0$
- $C_2 = 0$
- Buna göre, orijinden geçen ve ilk doğruya paralel olan ikinci doğru $L_2: 3x + 4y + 0 = 0$ veya kısaca $3x + 4y = 0$ denklemiyle ifade edilir.
- Adım 3: İki Paralel Doğru Arasındaki Uzaklık Formülünü Uygulayalım
- İki paralel doğru $Ax + By + C_1 = 0$ ve $Ax + By + C_2 = 0$ arasındaki uzaklık $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ formülüyle hesaplanır.
- Bizim doğrularımız:
- $L_1: 3x + 4y + 12 = 0 \Rightarrow A=3, B=4, C_1=12$
- $L_2: 3x + 4y + 0 = 0 \Rightarrow A=3, B=4, C_2=0$
- Şimdi bu değerleri formülde yerine yazalım:
- $d = \frac{|12 - 0|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$
- $d = \frac{|12|}{\sqrt{9 + 16}}$
- $d = \frac{12}{\sqrt{25}}$
- $d = \frac{12}{5}$
- $d = 2.4$ birimdir.
Bu adımları takip ederek, iki paralel doğru arasındaki uzaklığı kolayca bulduk. Gördüğünüz gibi, doğru denklemlerini anlamak ve doğru formülü uygulamak çok önemli!
Cevap B seçeneğidir.
