İntegral nedir Test 1

\( \int \frac{x^2 + 1}{x^3 + 3x} \, dx \) integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) \(\frac{1}{3} \ln|x^3 + 3x| + C\)
B) \(\frac{1}{2} \ln|x^3 + 3x| + C\)
C) \(\ln|x^3 + 3x| + C\)
D) \(2 \ln|x^3 + 3x| + C\)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, karşımızdaki integral sorusunu adım adım, anlaşılır bir şekilde çözeceğiz. İntegralimiz $ \int \frac{x^2 + 1}{x^3 + 3x} \, dx $ şeklindedir. Bu tür integrallerde genellikle paydanın türevinin payda olup olmadığını kontrol etmek iyi bir başlangıç noktasıdır. Eğer paydanın türevi payda ise, bu bir logaritmik integral formuna dönüşür.

• Adım 1: Paydadaki ifadeyi ve türevini inceleyelim.

  Paydadaki ifade $x^3 + 3x$'tir. Bu ifadenin türevini alalım:

  $ \frac{d}{dx}(x^3 + 3x) = 3x^2 + 3 $

  Gördüğümüz gibi, paydadaki ifadenin türevi $3x^2 + 3$ iken, integralin payında $x^2 + 1$ var. Bu iki ifade birbirine çok benziyor, sadece bir sabit çarpan farkı var. Bu bize bir değişken değiştirme (substitüsyon) yapmamız gerektiğini gösteriyor.

• Adım 2: Değişken değiştirme (substitüsyon) yapalım.

  Paydadaki ifadeye $u$ diyelim:

  $u = x^3 + 3x$

  Şimdi $u$'nun $x$'e göre diferansiyelini ($du$) bulalım:

  $du = (3x^2 + 3) \, dx$

  $du = 3(x^2 + 1) \, dx$

  İntegralimizin payında $x^2 + 1$ ifadesi olduğu için, $du$ ifadesini $x^2 + 1$ cinsinden yazalım:

  $ \frac{1}{3} du = (x^2 + 1) \, dx $

• Adım 3: İntegrali yeni değişkenimiz $u$ cinsinden yeniden yazalım.

  Şimdi integralimizi $u$ ve $du$ cinsinden ifade edebiliriz:

  $ \int \frac{x^2 + 1}{x^3 + 3x} \, dx = \int \frac{\frac{1}{3} du}{u} $

  Sabit çarpanı integral dışına alabiliriz:

  $ = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} \, du $

• Adım 4: Basitleştirilmiş integrali çözelim.

  Biz biliyoruz ki $ \int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C $ (burada $C$ integral sabitidir).

  O halde, integralimiz şu şekilde olur:

  $ = \frac{1}{3} \ln|u| + C $

• Adım 5: $u$ yerine orijinal ifadesini yazarak sonuca ulaşalım.

  Başlangıçta $u = x^3 + 3x$ demiştik. Şimdi $u$ yerine bu ifadeyi geri yazalım:

  $ = \frac{1}{3} \ln|x^3 + 3x| + C $

Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneği ile aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.