5-12-13 üçgeni nedir Test 1

Bir öğrenci tahtaya üçgen çiziyor. Üçgenin kenar uzunlukları 2,5 cm, 6 cm ve 6,5 cm'dir. Bu üçgen için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) 5-12-13 üçgeninin 2 katıdır
B) 5-12-13 üçgeninin yarısıdır
C) 5-12-13 üçgeni ile benzer değildir
D) Dik üçgen değildir

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, kenar uzunlukları verilen bir üçgenin özelliklerini inceleyeceğiz. Özellikle, bu üçgenin özel bir dik üçgen olan 5-12-13 üçgeni ile ilişkisini ve dik üçgen olup olmadığını kontrol edeceğiz.

• Adım 1: Üçgenin kenar uzunluklarını belirleyelim.

  Bize verilen üçgenin kenar uzunlukları $2.5$ cm, $6$ cm ve $6.5$ cm'dir.

• Adım 2: Üçgenin dik üçgen olup olmadığını kontrol edelim.

  Bir üçgenin dik üçgen olup olmadığını anlamak için Pisagor Teoremi'ni kullanırız. Pisagor Teoremi'ne göre, bir dik üçgende en uzun kenarın (hipotenüs) karesi, diğer iki kenarın karelerinin toplamına eşittir. Yani, $a^2 + b^2 = c^2$ olmalıdır. Burada $c$ en uzun kenardır.

  Bizim üçgenimizin kenarları $2.5$, $6$ ve $6.5$ olduğuna göre, en uzun kenar $6.5$ cm'dir. Şimdi Pisagor Teoremi'ni uygulayalım:

  • Küçük kenarların karelerinin toplamı: $ (2.5)^2 + (6)^2 $
  • $ (2.5)^2 = 6.25 $
  • $ (6)^2 = 36 $
  • Toplam: $ 6.25 + 36 = 42.25 $
  • En uzun kenarın karesi: $ (6.5)^2 $
  • $ (6.5)^2 = 42.25 $

  Gördüğümüz gibi, $ (2.5)^2 + (6)^2 = 42.25 $ ve $ (6.5)^2 = 42.25 $. Yani, $ (2.5)^2 + (6)^2 = (6.5)^2 $ eşitliği sağlanmaktadır. Bu durumda, verilen üçgen bir dik üçgendir. Bu bilgi, D seçeneğinin ("Dik üçgen değildir") yanlış olduğunu gösterir.

• Adım 3: Üçgeni 5-12-13 özel dik üçgeni ile karşılaştıralım.

  5-12-13 üçgeni, kenar uzunlukları $5$, $12$ ve $13$ birim olan özel bir dik üçgendir. Şimdi bizim üçgenimizin kenar uzunluklarını bu özel üçgenin kenarlarıyla karşılaştıralım:

  • Bizim üçgenimizin kenarları: $2.5$, $6$, $6.5$
  • 5-12-13 üçgeninin kenarları: $5$, $12$, $13$

  Eğer 5-12-13 üçgeninin her bir kenarını $2$'ye bölersek (yani yarısını alırsak), şu değerleri elde ederiz:

  • $ 5 \div 2 = 2.5 $
  • $ 12 \div 2 = 6 $
  • $ 13 \div 2 = 6.5 $

  Bu değerler, bizim üçgenimizin kenar uzunluklarıyla tamamen aynıdır! Bu durum, bizim üçgenimizin 5-12-13 üçgeninin kenar uzunluklarının tam olarak yarısı olduğunu gösterir.

• Adım 4: Seçenekleri değerlendirelim.
  • A) 5-12-13 üçgeninin 2 katıdır: Yanlış. Bizim üçgenimiz daha küçüktür, kenarları 5-12-13 üçgeninin yarısıdır.
  • B) 5-12-13 üçgeninin yarısıdır: Doğru. Yaptığımız karşılaştırma sonucunda, üçgenimizin kenarları 5-12-13 üçgeninin kenarlarının yarısıdır. Bu aynı zamanda, bu iki üçgenin benzer üçgenler olduğunu ve benzerlik oranının $1/2$ olduğunu gösterir.
  • C) 5-12-13 üçgeni ile benzer değildir: Yanlış. Kenar uzunlukları orantılı olduğu için (orantı $1/2$), bu iki üçgen benzerdir. Ayrıca ikisi de dik üçgendir.
  • D) Dik üçgen değildir: Yanlış. Pisagor Teoremi'ni uyguladığımızda, üçgenin dik üçgen olduğunu kanıtladık.

Bu adımları takip ettiğimizde, doğru seçeneğin B olduğunu açıkça görüyoruz.

Cevap B seçeneğidir.