Doğal sayı çarpanları nedir? Test 1

Aşağıdaki sayılardan hangisinin doğal sayı çarpan sayısı diğerlerinden farklıdır?

A) 16
B) 25
C) 49
D) 36

Sevgili öğrenciler, bu soruda bizden verilen sayıların doğal sayı çarpan sayılarını bulmamız ve hangisinin diğerlerinden farklı olduğunu belirlememiz isteniyor.

Öncelikle, bir sayının doğal sayı çarpanı ne demektir, hatırlayalım:

• Bir sayıyı kalansız bölen pozitif tam sayılara o sayının doğal sayı çarpanları (veya bölenleri) denir.

Bir sayının doğal sayı çarpan sayısını bulmanın iki temel yolu vardır:

• Yöntem 1: Çarpanları Tek Tek Listelemek: Sayıyı bölen tüm doğal sayıları sırayla yazıp saymak.
• Yöntem 2: Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi: Bu yöntem, özellikle büyük sayılar için daha hızlı ve güvenilirdir. Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırdığımızda, örneğin $N = a^x \times b^y \times c^z$ şeklinde (burada $a, b, c$ asal sayılar ve $x, y, z$ pozitif tam sayılar), doğal sayı çarpan sayısı $(x+1) \times (y+1) \times (z+1)$ formülüyle bulunur.

Şimdi her bir seçenekteki sayının doğal sayı çarpan sayısını bulalım:

• A) 16:

  Çarpanları listelersek: 1, 2, 4, 8, 16. Toplam 5 tane doğal sayı çarpanı vardır.

  Asal çarpanlarına ayırırsak: $16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4$.

  Çarpan sayısı formülüyle: $(4+1) = 5.

• B) 25:

  Çarpanları listelersek: 1, 5, 25. Toplam 3 tane doğal sayı çarpanı vardır.

  Asal çarpanlarına ayırırsak: $25 = 5 \times 5 = 5^2$.

  Çarpan sayısı formülüyle: $(2+1) = 3.

• C) 49:

  Çarpanları listelersek: 1, 7, 49. Toplam 3 tane doğal sayı çarpanı vardır.

  Asal çarpanlarına ayırırsak: $49 = 7 \times 7 = 7^2$.

  Çarpan sayısı formülüyle: $(2+1) = 3.

• D) 36:

  Çarpanları listelersek: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Toplam 9 tane doğal sayı çarpanı vardır.

  Asal çarpanlarına ayırırsak: $36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2$.

  Çarpan sayısı formülüyle: $(2+1) \times (2+1) = 3 \times 3 = 9.

Şimdi bulduğumuz çarpan sayılarını karşılaştıralım:

• 16 sayısının 5 doğal sayı çarpanı vardır.
• 25 sayısının 3 doğal sayı çarpanı vardır.
• 49 sayısının 3 doğal sayı çarpanı vardır.
• 36 sayısının 9 doğal sayı çarpanı vardır.

Gördüğümüz gibi, 25 ve 49 sayılarının çarpan sayısı 3 iken, 16 sayısının çarpan sayısı 5'tir. Ancak 36 sayısının çarpan sayısı 9'dur ve bu sayı diğer seçeneklerdeki sayılardan belirgin bir şekilde farklıdır.

Cevap D seçeneğidir.