Bir işi Ali tek başına 12 saatte, Can tek başına 18 saatte yapabilmektedir. İkisi birlikte 3 saat çalıştıktan sonra Can işi bırakıyor. Kalan işi Ali tek başına kaç saatte bitirir?
A) 5Merhaba sevgili öğrenciler! Bu tür işçi problemlerini adım adım çözmek, konuyu çok daha iyi anlamamızı sağlar. Şimdi soruyu birlikte, tane tane inceleyelim ve çözelim.
Adım 1: Her Bir Kişinin Bir Saatte Yaptığı İş Miktarını Bulalım.
Bir işi Ali tek başına 12 saatte bitiriyorsa, Ali 1 saatte işin $ rac{1}{12}$'sini yapar.
Can tek başına 18 saatte bitiriyorsa, Can 1 saatte işin $ rac{1}{18}$'ini yapar.
Adım 2: Ali ve Can Birlikte Çalışırken Bir Saatte Ne Kadar İş Yaptıklarını Bulalım.
İkisi birlikte çalıştığında, 1 saatte yaptıkları toplam iş miktarı, bireysel hızlarının toplamıdır:
$ rac{1}{12} + rac{1}{18}$
Bu kesirleri toplayabilmek için paydalarını eşitlememiz gerekir. 12 ve 18'in en küçük ortak katı 36'dır.
$ rac{1 \times 3}{12 \times 3} + rac{1 \times 2}{18 \times 2} = rac{3}{36} + rac{2}{36} = rac{5}{36}$
Yani, Ali ve Can birlikte 1 saatte işin $ rac{5}{36}$'sını yaparlar.
Adım 3: Birlikte Çalıştıkları 3 Saatte Ne Kadar İş Yaptıklarını Hesaplayalım.
İkisi birlikte 3 saat çalıştıklarına göre, bu süre zarfında yaptıkları iş miktarı, 1 saatte yaptıkları işin 3 katıdır:
$3 \times rac{5}{36} = rac{15}{36}$
Bu kesri sadeleştirebiliriz (her iki tarafı 3'e bölerek):
$ rac{15 \div 3}{36 \div 3} = rac{5}{12}$
Demek ki, işin $ rac{5}{12}$'si tamamlanmıştır.
Adım 4: Kalan İş Miktarını Bulalım.
İşin tamamı 1 (veya $ rac{12}{12}$) olarak kabul edilir. Yapılan iş $ rac{5}{12}$ olduğuna göre, kalan iş miktarı:
$1 - rac{5}{12} = rac{12}{12} - rac{5}{12} = rac{7}{12}$
İşin $ rac{7}{12}$'si kalmıştır.
Adım 5: Kalan İşi Ali'nin Tek Başına Bitirme Süresini Hesaplayalım.
Can işi bıraktığına göre, kalan işi Ali tek başına yapacaktır. Ali'nin 1 saatteki çalışma hızı $ rac{1}{12}$ idi.
Kalan işi bitirme süresi, kalan iş miktarının Ali'nin saatlik hızına bölünmesiyle bulunur:
$ rac{Kalan İş}{Ali'nin Hızı} = rac{ rac{7}{12}}{ rac{1}{12}}$
Bu işlemi yaparken, paydaki kesri aynen yazar, paydadaki kesri ters çevirip çarparız:
$ rac{7}{12} \times rac{12}{1} = 7$
Yani, Ali kalan işi tek başına 7 saatte bitirir.
Cevap C seçeneğidir.
