Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problemde, bir torbadan çekilen iki topun numaraları toplamının tek sayı olma olasılığını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Toplam Olası Durumları Bulma
- Öncelikle, torbadan rastgele çekilebilecek iki topun kaç farklı şekilde seçilebileceğini bulmalıyız. Torbada 10 top var ve biz 2 top çekiyoruz. Çekilen topların sırası önemli olmadığı için kombinasyon kullanırız.
- Toplam olası durum sayısı, 10 toptan 2 top seçme kombinasyonu ile bulunur: $C(10, 2)$.
- $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ formülünü kullanarak hesaplayalım:
- $C(10, 2) = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = \frac{90}{2} = 45$.
- Yani, torbadan çekilebilecek iki top için toplam 45 farklı olası durum vardır.
- Adım 2: Çekilen Topların Numaraları Toplamının Tek Olması İçin Gerekli Şartı Belirleme
- İki sayının toplamının tek sayı olması için, sayılardan birinin tek, diğerinin ise çift olması gerekir.
- Hatırlayalım:
- Tek + Tek = Çift
- Çift + Çift = Çift
- Tek + Çift = Tek
- Bu durumda, bizim istediğimiz olay, bir tek sayıya sahip top ile bir çift sayıya sahip top çekmektir.
- Adım 3: Torbadaki Tek ve Çift Sayılı Topları Belirleme
- Torbadaki numaralar 1'den 10'a kadardır: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
- Tek sayılar: {1, 3, 5, 7, 9}. Toplam 5 tane tek sayı vardır.
- Çift sayılar: {2, 4, 6, 8, 10}. Toplam 5 tane çift sayı vardır.
- Adım 4: İstenen Durum Sayısını (Favorable Outcomes) Bulma
- Bir tek sayılı top ve bir çift sayılı top çekmemiz gerekiyor.
- 5 tek sayıdan 1 tane tek sayı seçme kombinasyonu: $C(5, 1) = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1!4!} = 5$.
- 5 çift sayıdan 1 tane çift sayı seçme kombinasyonu: $C(5, 1) = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1!4!} = 5$.
- İstenen durum sayısı, bu iki seçimin çarpımıdır: $5 \times 5 = 25$.
- Yani, numaraları toplamı tek sayı olan 25 farklı top çifti çekilebilir.
- Adım 5: Olasılığı Hesaplama
- Olasılık, (İstenen Durum Sayısı) / (Toplam Olası Durum Sayısı) formülüyle bulunur.
- Olasılık = $\frac{25}{45}$.
- Bu kesri sadeleştirelim. Hem payı hem de paydayı 5'e bölebiliriz.
- Olasılık = $\frac{25 \div 5}{45 \div 5} = \frac{5}{9}$.
Bu durumda, torbadan rastgele çekilen iki topun numaraları toplamının tek sayı olma olasılığı $5/9$'dur.
Cevap B seçeneğidir.
