Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda rasyonel sayılar kümesinin ($\mathbb{Q}$) elemanını bulmamız isteniyor. Öncelikle rasyonel sayıların ne olduğunu hatırlayalım:
- Rasyonel Sayı Tanımı: Bir sayı, $a$ bir tam sayı ve $b$ sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen her sayıdır. Başka bir deyişle, ondalık gösterimi sonlu olan veya tekrar eden bir örüntüye sahip olan sayılardır.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) $\pi$: $\pi$ (pi sayısı), bir dairenin çevresinin çapına oranıdır. Yaklaşık değeri $3.14159265...$ şeklinde devam eder. Bu sayı, ondalık basamakları sonsuza kadar düzensiz bir şekilde devam eden, yani tekrar etmeyen ve sonlanmayan bir sayıdır. Bu tür sayılara irrasyonel sayı denir. Dolayısıyla $\pi$, rasyonel bir sayı değildir.
- B) $\sqrt{9}$: $\sqrt{9}$ ifadesi, hangi sayının karesinin $9$ olduğunu sorar. Bu sayının $3$ olduğunu biliyoruz, çünkü $3 \times 3 = 9$'dur. Sayı $3$'tür. Peki, $3$ rasyonel bir sayı mıdır? Evet, $3$ sayısını $\frac{3}{1}$ şeklinde yazabiliriz. Burada $a=3$ bir tam sayı ve $b=1$ sıfırdan farklı bir tam sayıdır. Rasyonel sayı tanımına uyduğu için $3$ (ve dolayısıyla $\sqrt{9}$), rasyonel bir sayıdır.
- C) $\sqrt{5}$: $\sqrt{5}$ ifadesi, hangi sayının karesinin $5$ olduğunu sorar. $5$ bir tam kare sayı değildir (yani hiçbir tam sayının karesi $5$ etmez). $\sqrt{5}$'in ondalık gösterimi $2.2360679...$ şeklinde sonsuza kadar düzensiz bir şekilde devam eder, yani tekrar etmez ve sonlanmaz. Bu nedenle $\sqrt{5}$, irrasyonel bir sayıdır.
- D) $e$: $e$ (Euler sayısı), doğal logaritmanın tabanıdır ve matematikte önemli bir sabittir. Yaklaşık değeri $2.718281828...$ şeklinde devam eder. $\pi$ gibi, $e$ de ondalık basamakları sonsuza kadar düzensiz bir şekilde devam eden, yani tekrar etmeyen ve sonlanmayan bir sayıdır. Bu nedenle $e$, irrasyonel bir sayıdır.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, sadece $\sqrt{9}$ sayısının rasyonel sayı tanımına uyduğunu görüyoruz.
Cevap B seçeneğidir.
