Kütlesi $m$ olan bir cisim, kütlesi $2m$ olan durgun bir cisme esnek olarak çarpıyor. Çarpışmadan önce $m$ kütleli cismin hızı $v$ ise, çarpışmadan sonra $2m$ kütleli cismin hızı nedir?
A) $\frac{v}{3}$
B) $\frac{2v}{3}$
C) $\frac{v}{2}$
D) $\frac{3v}{4}$
Merhaba öğrenciler, bu soruyu çözerken hem momentumun korunumu hem de kinetik enerjinin korunumu ilkelerini kullanacağız. Esnek çarpışma demek, kinetik enerjinin korunduğu çarpışma demektir.
- Adım 1: Momentumun Korunumu
- Çarpışmadan önceki toplam momentum, çarpışmadan sonraki toplam momentuma eşit olmalıdır.
- Çarpışmadan önce sadece $m$ kütleli cisim hareketli olduğundan, toplam momentum $p_{ilk} = m \cdot v + 2m \cdot 0 = mv$ olur.
- Çarpışmadan sonra $m$ kütleli cismin hızı $v_1$ ve $2m$ kütleli cismin hızı $v_2$ olsun. Bu durumda toplam momentum $p_{son} = m \cdot v_1 + 2m \cdot v_2$ olur.
- Momentumun korunumu ilkesine göre: $mv = mv_1 + 2mv_2$. Bu denklemi $m$ ile sadeleştirirsek: $v = v_1 + 2v_2$ elde ederiz.
- Adım 2: Kinetik Enerjinin Korunumu
- Esnek çarpışmalarda kinetik enerji de korunur.
- Çarpışmadan önceki toplam kinetik enerji $KE_{ilk} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} (2m) (0)^2 = \frac{1}{2} m v^2$ olur.
- Çarpışmadan sonraki toplam kinetik enerji $KE_{son} = \frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} (2m) v_2^2 = \frac{1}{2} m v_1^2 + m v_2^2$ olur.
- Kinetik enerjinin korunumu ilkesine göre: $\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m v_1^2 + m v_2^2$. Bu denklemi $\frac{1}{2}m$ ile sadeleştirirsek: $v^2 = v_1^2 + 2v_2^2$ elde ederiz.
- Adım 3: Denklemleri Çözme
- Elimizde iki denklem var:
- (1) $v = v_1 + 2v_2$
- (2) $v^2 = v_1^2 + 2v_2^2$
- (1) numaralı denklemden $v_1$'i çekelim: $v_1 = v - 2v_2$.
- Bu ifadeyi (2) numaralı denklemde yerine koyalım: $v^2 = (v - 2v_2)^2 + 2v_2^2$.
- Denklemi açalım: $v^2 = v^2 - 4vv_2 + 4v_2^2 + 2v_2^2$.
- $v^2$ terimleri sadeleşir ve denklem şu hale gelir: $0 = -4vv_2 + 6v_2^2$.
- Denklemi $2v_2$ parantezine alalım: $0 = 2v_2(-2v + 3v_2)$.
- Bu durumda ya $v_2 = 0$ (ki bu çarpışma olmadığı anlamına gelir) ya da $-2v + 3v_2 = 0$ olmalıdır.
- $-2v + 3v_2 = 0$ ise, $3v_2 = 2v$ ve dolayısıyla $v_2 = \frac{2v}{3}$ olur.
Çarpışmadan sonra $2m$ kütleli cismin hızı $\frac{2v}{3}$'tür.
Cevap B seçeneğidir
