Kütleleri sırasıyla $m$ ve $3m$ olan iki cisim esnek çarpışma yapıyor. Küçük kütleli cisim çarpışmadan önce $v$ hızıyla hareket ederken, büyük kütleli cisim duruyor. Çarpışmadan sonra küçük kütleli cismin hızı ne olur?
A) $-\frac{v}{2}$
B) $-\frac{2v}{3}$
C) $-\frac{v}{3}$
D) $-\frac{3v}{4}$
Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek esnek çarpışma konusunu daha iyi anlamanızı sağlayacağım.
Adım 1: Esnek Çarpışma Nedir?
- Esnek çarpışma, kinetik enerjinin korunduğu bir çarpışma türüdür. Yani, çarpışmadan önceki toplam kinetik enerji, çarpışmadan sonraki toplam kinetik enerjiye eşittir. Ayrıca momentum da korunur.
Adım 2: Momentumun Korunumu İlkesi
- Momentumun korunumu ilkesine göre, bir sistemin toplam momentumu sabittir (dış kuvvetler yoksa). Bu ilkeyi kullanarak bir denklem yazalım.
- Çarpışmadan önceki toplam momentum: $m_1v_1 + m_2v_2 = m \cdot v + 3m \cdot 0 = mv$
- Çarpışmadan sonraki toplam momentum: $m_1v_1' + m_2v_2' = m \cdot v_1' + 3m \cdot v_2'$
- Momentumun korunumu: $mv = mv_1' + 3mv_2'$
- Denklemi basitleştirelim: $v = v_1' + 3v_2'$ (Denklem 1)
Adım 3: Kinetik Enerjinin Korunumu İlkesi
- Esnek çarpışmalarda kinetik enerji de korunur. Bu ilkeyi kullanarak bir denklem daha yazalım.
- Çarpışmadan önceki toplam kinetik enerji: $\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}m \cdot v^2 + \frac{1}{2}(3m) \cdot 0^2 = \frac{1}{2}mv^2$
- Çarpışmadan sonraki toplam kinetik enerji: $\frac{1}{2}m_1(v_1')^2 + \frac{1}{2}m_2(v_2')^2 = \frac{1}{2}m \cdot (v_1')^2 + \frac{1}{2}(3m) \cdot (v_2')^2$
- Kinetik enerjinin korunumu: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(v_1')^2 + \frac{1}{2}(3m)(v_2')^2$
- Denklemi basitleştirelim: $v^2 = (v_1')^2 + 3(v_2')^2$ (Denklem 2)
Adım 4: Denklemleri Çözelim
- Denklem 1'den $v_2'$'yi çekelim: $v_2' = \frac{v - v_1'}{3}$
- Bu ifadeyi Denklem 2'de yerine koyalım: $v^2 = (v_1')^2 + 3(\frac{v - v_1'}{3})^2$
- $v^2 = (v_1')^2 + \frac{(v - v_1')^2}{3}$
- $3v^2 = 3(v_1')^2 + v^2 - 2vv_1' + (v_1')^2$
- $2v^2 + 2vv_1' - 4(v_1')^2 = 0$
- $v^2 + vv_1' - 2(v_1')^2 = 0$
- Bu ifadeyi çarpanlarına ayıralım: $(v + 2v_1')(v - v_1') = 0$
- Buradan iki çözüm elde ederiz: $v_1' = -\frac{v}{2}$ veya $v_1' = v$. $v_1' = v$ çözümü çarpışma olmaması durumuna karşılık gelir, bu yüzden bizim için anlamlı olan çözüm $v_1' = -\frac{v}{2}$'dir.
Adım 5: Sonuç
- Küçük kütleli cismin çarpışmadan sonraki hızı $-\frac{v}{2}$'dir.
Cevap A seçeneğidir.
