Bir dikdörtgenin köşe noktaları K(2, 1), L(2, 4), M(5, 4) ve N(5, 1) olarak veriliyor. Bu dikdörtgenin x eksenine göre simetriği alındığında, yeni oluşan dikdörtgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 9Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için adım adım ilerleyelim. Bir dikdörtgenin köşe noktaları verildiğinde, öncelikle bu dikdörtgenin kenar uzunluklarını bulmamız gerekir. Daha sonra simetri kavramını kullanarak yeni dikdörtgenin özelliklerini inceleyebiliriz.
Verilen köşe noktaları K(2, 1), L(2, 4), M(5, 4) ve N(5, 1) şeklindedir. Bir dikdörtgenin kenarları birbirine diktir ve karşılıklı kenarları eşittir. Kenar uzunluklarını bulmak için noktaların koordinat farklarını kullanabiliriz.
Genişlik (x ekseni üzerindeki uzunluk): K ve N noktalarının y koordinatları aynıdır ($1$). Bu iki nokta arasındaki uzaklık, x koordinatlarının farkının mutlak değeri olacaktır.
Genişlik = $|x_N - x_K| = |5 - 2| = 3$ birim.
Aynı şekilde, L ve M noktaları için de genişlik = $|x_M - x_L| = |5 - 2| = 3$ birimdir.
Yükseklik (y ekseni üzerindeki uzunluk): K ve L noktalarının x koordinatları aynıdır ($2$). Bu iki nokta arasındaki uzaklık, y koordinatlarının farkının mutlak değeri olacaktır.
Yükseklik = $|y_L - y_K| = |4 - 1| = 3$ birim.
Aynı şekilde, N ve M noktaları için de yükseklik = $|y_M - y_N| = |4 - 1| = 3$ birimdir.
Bir dikdörtgenin alanı, genişliği ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.
Alan = Genişlik $\times$ Yükseklik
Alan = $3 \times 3 = 9$ birimkare.
Bir geometrik şeklin x eksenine göre simetriği alındığında, şeklin boyutu ve alanı değişmez. Sadece konumu değişir. Yani, orijinal dikdörtgenin alanı ile simetriği alınan yeni dikdörtgenin alanı birbirine eşit olacaktır.
Eğer yeni noktaları bulmak istersek, $(x, y)$ noktasının x eksenine göre simetriği $(x, -y)$ olur:
K(2, 1) $\rightarrow$ K'(2, -1)
L(2, 4) $\rightarrow$ L'(2, -4)
M(5, 4) $\rightarrow$ M'(5, -4)
N(5, 1) $\rightarrow$ N'(5, -1)
Bu yeni K'L'M'N' dikdörtgeninin kenar uzunlukları da aynı olacaktır:
Genişlik = $|x_{N'} - x_{K'}| = |5 - 2| = 3$ birim.
Yükseklik = $|y_{L'} - y_{K'}| = |-4 - (-1)| = |-4 + 1| = |-3| = 3$ birim.
Gördüğünüz gibi, yeni dikdörtgenin kenar uzunlukları da $3$ birim ve $3$ birimdir. Bu durumda yeni dikdörtgenin alanı da aynı olacaktır.
Yeni Alan = $3 \times 3 = 9$ birimkare.
Bu nedenle, dikdörtgenin x eksenine göre simetriği alındığında oluşan yeni dikdörtgenin alanı $9$ birimkaredir.
Cevap A seçeneğidir.
