Bir kümenin 3 elemanlı alt küme sayısı, 5 elemanlı alt küme sayısına eşittir. Bu kümenin eleman sayısı kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
Haydi bu kümelerle ilgili soruyu eğlenceli bir şekilde çözelim!
🧮 İlk olarak, kümenin eleman sayısına $n$ diyelim. 3 elemanlı alt küme sayısı $C(n, 3)$ ve 5 elemanlı alt küme sayısı $C(n, 5)$ olarak ifade edilir. Yani, $C(n, 3) = C(n, 5)$ eşitliği verilmiş.
🧪 Kombinasyon formülünü hatırlayalım: $C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$. Bu durumda, $\frac{n!}{3!(n-3)!} = \frac{n!}{5!(n-5)!}$ eşitliğimiz var.
💡 Kombinasyonların eşitliğinden, ya $3=5$ (ki bu mümkün değil) ya da $3 + 5 = n$ olmalıdır. Çünkü $C(n, r) = C(n, n-r)$ özelliğimiz var.
📐 Buradan $n = 3 + 5 = 8$ sonucunu elde ederiz. Yani kümenin eleman sayısı 8'dir.
