Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda bir yamukta köşegenlerin kesişim noktasının oluşturduğu benzer üçgenleri kullanarak kenar uzunluğunu bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Yamuğun Özelliklerini Hatırlayalım: Bir ABCD yamuğunda $[AB]$ // $[CD]$ olması, bu iki kenarın birbirine paralel olduğu anlamına gelir. Bu paralellik, köşegenlerin kesişim noktasında oluşan üçgenler arasında önemli bir ilişki kurar.
- 2. Benzer Üçgenleri Belirleyelim: Köşegenlerin kesişim noktası $O$ olduğunda, $\triangle AOB$ ve $\triangle COD$ üçgenleri oluşur. Bu iki üçgen birbirine benzerdir. Neden mi?
- $\angle OAB$ açısı ile $\angle OCD$ açısı birbirine eşittir (iç ters açılar, çünkü $[AB]$ // $[CD]$ ve $[AC]$ kesendir).
- $\angle OBA$ açısı ile $\angle ODC$ açısı birbirine eşittir (iç ters açılar, çünkü $[AB]$ // $[CD]$ ve $[BD]$ kesendir).
- $\angle AOB$ açısı ile $\angle COD$ açısı birbirine eşittir (ters açılar).
Bu üç açı eşitliği sayesinde, $\triangle AOB \sim \triangle COD$ (Açı-Açı-Açı benzerliği) diyebiliriz.
- 3. Benzerlik Oranını Yazalım: Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir. Bu durumda:
$ \frac{|AO|}{|CO|} = \frac{|BO|}{|DO|} = \frac{|AB|}{|CD|} $
- 4. Verilen Bilgileri Yerine Koyalım: Soruda bize şu bilgiler verilmiş:
- $ \frac{|AO|}{|OC|} = \frac{2}{3} $
- $ |AB| = 10 $ cm
Bizden $ |CD| $ uzunluğunu bulmamız isteniyor. Benzerlik oranından $ \frac{|AO|}{|OC|} = \frac{|AB|}{|CD|} $ eşitliğini kullanabiliriz.
- 5. Denklemi Kuralım ve Çözelim:
$ \frac{2}{3} = \frac{10}{|CD|} $
Şimdi içler dışlar çarpımı yaparak $ |CD| $ değerini bulalım:
$ 2 \times |CD| = 3 \times 10 $
$ 2 \times |CD| = 30 $
Her iki tarafı $2$'ye bölelim:
$ |CD| = \frac{30}{2} $
$ |CD| = 15 $ cm
Böylece $ |CD| $ uzunluğunu $15$ cm olarak bulmuş olduk.
Cevap B seçeneğidir.
