Sayı Kümeleri Sembol ve Gösterimleri Test 2

\( x \) bir tam sayı olmak üzere \( \frac{x+3}{2} \) ifadesinin bir rasyonel sayı belirtmesi için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) \( x \) tek sayı olmalıdır
B) \( x \) çift sayı olmalıdır
C) \( x \) pozitif olmalıdır
D) \( x \) negatif olmalıdır

Bu soruda, $ x $ bir tam sayı olmak üzere $ \frac{x+3}{2} $ ifadesinin bir rasyonel sayı belirtmesi için hangi koşulun kesinlikle doğru olduğunu bulmamız isteniyor.

• Rasyonel Sayı Nedir?

  Bir rasyonel sayı, $ \frac{a}{b} $ şeklinde yazılabilen bir sayıdır. Burada $ a $ ve $ b $ birer tam sayı olmalı ve $ b $ sıfırdan farklı olmalıdır ($ b \neq 0 $).

• İfademizi İnceleyelim:

  Verilen ifade $ \frac{x+3}{2} $ şeklindedir. $ x $ bir tam sayı olduğu için, $ x+3 $ de kesinlikle bir tam sayıdır. Payda $ 2 $ de sıfırdan farklı bir tam sayıdır. Dolayısıyla, $ x $ bir tam sayı olduğu sürece, $ \frac{x+3}{2} $ ifadesi her zaman bir rasyonel sayı tanımına uyar. Yani, $ x $ tek de olsa, çift de olsa, pozitif de olsa, negatif de olsa bu ifade bir rasyonel sayıdır.

• Sorunun Amacını Anlamak:

  Ancak, sorunun seçeneklerine baktığımızda (tek sayı, çift sayı, pozitif, negatif), bizden bu ifadenin daha özel bir durumunu incelememiz istendiğini anlıyoruz. Genellikle bu tür sorularda, ifadenin bir *tam sayı* belirtmesi durumu kastedilir. Çünkü bir tam sayı da aynı zamanda bir rasyonel sayıdır (örneğin $ 5 = \frac{5}{1} $).

  Şimdi, $ \frac{x+3}{2} $ ifadesinin bir tam sayı olması için gereken koşulu bulalım.

• İfadenin Tam Sayı Olma Koşulu:

  Bir kesirli ifadenin tam sayı olabilmesi için, payın paydaya tam bölünmesi gerekir. Yani, $ x+3 $ sayısının $ 2 $ ile tam bölünebilmesi gerekir. Bu da demektir ki $ x+3 $ sayısı bir çift sayı olmalıdır.

• $ x+3 $ Sayısının Çift Olması İçin $ x $ Ne Olmalı?

  Şimdi $ x $ değerinin tek mi çift mi olması gerektiğini inceleyelim:

  Durum 1: Eğer $ x $ bir çift sayı ise (örneğin $ x=2 $ veya $ x=4 $), $ x+3 $ ifadesi (çift sayı + tek sayı) = tek sayı olur. (Örneğin $ 2+3=5 $, $ 4+3=7 $). Tek sayılar $ 2 $'ye tam bölünmez.

  Durum 2: Eğer $ x $ bir tek sayı ise (örneğin $ x=1 $ veya $ x=3 $), $ x+3 $ ifadesi (tek sayı + tek sayı) = çift sayı olur. (Örneğin $ 1+3=4 $, $ 3+3=6 $). Çift sayılar $ 2 $'ye tam bölünür.

  Bu durumda, $ \frac{x+3}{2} $ ifadesinin bir tam sayı olabilmesi için $ x+3 $ ifadesinin çift sayı olması, bunun için de $ x $ sayısının tek sayı olması kesinlikle gereklidir.

• Sonuç:

  Seçeneklere baktığımızda, $ x $ tek sayı olmalıdır koşulu, ifadenin bir tam sayı olmasını sağlar. Bir tam sayı da rasyonel bir sayıdır. Bu nedenle, sorunun bizden istediği özel durum için doğru cevap budur.

Cevap A seçeneğidir.