10. Sınıf Üçgenin Kenarortayları ve Ağırlık Merkezi Test 2

ABC üçgeninde G ağırlık merkezidir. |AB| = 12 cm, |BC| = 10 cm ve |AC| = 8 cm olduğuna göre, G noktasının AB kenarına olan uzaklığı kaç cm'dir?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 6

İşte ABC üçgeninde G ağırlık merkezinin AB kenarına olan uzaklığını bulmak için adım adım çözüm:

• Adım 1: Üçgenin Alanını Bulma

Öncelikle ABC üçgeninin alanını Heron formülü ile bulalım. Heron formülü, kenar uzunlukları bilinen bir üçgenin alanını hesaplamak için kullanılır.

Yarı çevre (u) şöyle bulunur: $u = \frac{a + b + c}{2}$

Burada a = 12 cm, b = 10 cm ve c = 8 cm. O halde:

$u = \frac{12 + 10 + 8}{2} = \frac{30}{2} = 15$ cm

Heron formülü ile alan (A) şöyle hesaplanır: $A = \sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)}$

$A = \sqrt{15(15-12)(15-10)(15-8)} = \sqrt{15 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7} = \sqrt{1575} = 15\sqrt{7}$ cm$^2$

• Adım 2: Ağırlık Merkezinin Özelliği

Ağırlık merkezi (G), üçgenin kenarortaylarının kesişim noktasıdır. Ağırlık merkezi, üçgeni alanları eşit üç parçaya böler. Yani, ABG üçgeninin alanı, ABC üçgeninin alanının üçte biridir.

$A_{ABG} = \frac{A_{ABC}}{3} = \frac{15\sqrt{7}}{3} = 5\sqrt{7}$ cm$^2$

• Adım 3: G noktasının AB Kenarına Uzaklığını Bulma

G noktasının AB kenarına olan uzaklığına h diyelim. ABG üçgeninin alanı aynı zamanda $\frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h$ şeklinde de ifade edilebilir.

$\frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h = 5\sqrt{7}$

$\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot h = 5\sqrt{7}$

$6h = 5\sqrt{7}$

$h = \frac{5\sqrt{7}}{6}$ cm

• Adım 4: Yaklaşık Değer ve Seçeneklerle Karşılaştırma

$\sqrt{7}$ yaklaşık olarak 2.64'tür. Bu durumda:

$h \approx \frac{5 \cdot 2.64}{6} = \frac{13.2}{6} = 2.2$ cm

Seçeneklere baktığımızda, 2.2 cm'ye en yakın olan seçenek 2 cm'dir.

Cevap A seçeneğidir.