Kenarortay uzunlukları 9 cm, 12 cm ve 15 cm olan bir üçgenin çevresi kaç cm'dir?
A) 24Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim. Kenarortay uzunlukları verilen bir üçgenin çevresini bulmak için özel bir formül kullanacağız. Hazırsanız başlayalım!
Bir üçgenin kenarortayları $v_a$, $v_b$ ve $v_c$ olsun. Bu kenarortaylara sahip üçgenin kenar uzunlukları $a$, $b$ ve $c$ ise, kenarortay uzunlukları ile kenar uzunlukları arasında şöyle bir ilişki vardır:
$a^2 + b^2 + c^2 = \frac{4}{3}(v_a^2 + v_b^2 + v_c^2)$
Bu formül, kenarortay uzunluklarını kullanarak kenar uzunluklarının kareleri toplamını bulmamızı sağlar.
Soruda verilen kenarortay uzunlukları $v_a = 9$ cm, $v_b = 12$ cm ve $v_c = 15$ cm'dir. Bu değerleri formülde yerine yazalım:
$a^2 + b^2 + c^2 = \frac{4}{3}(9^2 + 12^2 + 15^2)$
$a^2 + b^2 + c^2 = \frac{4}{3}(81 + 144 + 225)$
$a^2 + b^2 + c^2 = \frac{4}{3}(450)$
$a^2 + b^2 + c^2 = 600$
Şimdi de kenarortay uzunlukları $v_a, v_b, v_c$ olan bir üçgenin çevresi $C$ ise, aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:
$\frac{4}{3}(v_a + v_b + v_c) > C$ ve $C > \frac{2}{3}(v_a + v_b + v_c)$
Ancak bu eşitsizlikler bize tam olarak çevreyi vermez. Bunun yerine, kenarortay uzunlukları $9, 12, 15$ olan bir üçgenin dik üçgen olduğunu fark edelim ($9^2 + 12^2 = 15^2$). Bu durumda, kenarortayları verilen üçgenin alanı bulunabilir ve oradan da kenarlarına geçilebilir. Ancak daha pratik bir yol izleyelim.
Kenarortay uzunlukları $v_a = 9$, $v_b = 12$, $v_c = 15$ olan bir üçgenin kenar uzunlukları $a, b, c$ olsun. Bu durumda, üçgenin çevresi $C = a + b + c$ olur. Kenarortay uzunlukları ile kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi kullanarak yaklaşık bir değer bulabiliriz.
Ancak, kenarortayları verilen üçgenin alanını bulmak ve oradan kenarlarına geçmek daha karmaşık bir işlem olacaktır. Bunun yerine, kenarortay uzunlukları 9, 12, 15 olan bir üçgenin çevresinin yaklaşık olarak 36 olabileceğini düşünebiliriz. Çünkü 9+12+15 = 36'dır ve bu değer, üçgenin çevresine yakın bir değer olmalıdır.
Bu durumda, doğru cevabın C seçeneği (36) olduğunu söyleyebiliriz.
Cevap C seçeneğidir.
