10. Sınıf Üçgenin Kenarortayları ve Ağırlık Merkezi Test 2

ABC üçgeninde G ağırlık merkezidir. |AB| = 10 cm, |AC| = 12 cm ve |BC| = 14 cm olduğuna göre, G noktasının BC kenarına olan uzaklığı kaç cm'dir?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5

İşte ABC üçgeninde G ağırlık merkezinin BC kenarına olan uzaklığını bulma adımları:

Öncelikle, ağırlık merkezinin ne anlama geldiğini hatırlayalım. Ağırlık merkezi, üçgenin kenarortaylarının kesişim noktasıdır ve kenarortayları 2:1 oranında böler. Bu bilgiyi kullanarak soruyu çözebiliriz.

• Adım 1: Üçgenin Alanını Hesaplama

Üç kenar uzunluğu bilinen bir üçgenin alanını Heron formülü ile hesaplayabiliriz. Heron formülü: $Alan = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ burada $s$ üçgenin yarı çevresi, $a$, $b$, ve $c$ ise kenar uzunluklarıdır.

İlk olarak yarı çevreyi hesaplayalım: $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{10+12+14}{2} = 18$ cm.

Şimdi alanı hesaplayalım: $Alan = \sqrt{18(18-10)(18-12)(18-14)} = \sqrt{18 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 4} = \sqrt{3456} = 24\sqrt{6}$ cm$^2$.

• Adım 2: BC Kenarına Ait Yüksekliği Bulma

Üçgenin alanını aynı zamanda taban x yükseklik / 2 formülü ile de bulabiliriz. BC kenarını taban olarak alırsak, BC kenarına ait yüksekliği ($h$) bulabiliriz: $Alan = \frac{1}{2} \cdot |BC| \cdot h$.

$24\sqrt{6} = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot h$ eşitliğinden $h = \frac{24\sqrt{6} \cdot 2}{14} = \frac{24\sqrt{6}}{7}$ cm bulunur.

• Adım 3: Ağırlık Merkezinin BC Kenarına Uzaklığını Bulma

Ağırlık merkezi, üçgenin yüksekliğini tabana doğru 1:3 oranında böler. Yani, ağırlık merkezinin BC kenarına olan uzaklığı, yüksekliğin üçte birine eşittir.

Bu durumda, G noktasının BC kenarına olan uzaklığı: $\frac{h}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{24\sqrt{6}}{7} = \frac{8\sqrt{6}}{7}$ cm'dir.

• Adım 4: Yaklaşık Değer Hesaplama ve Seçeneklerle Karşılaştırma

$\sqrt{6} \approx 2.45$ olduğundan, $\frac{8\sqrt{6}}{7} \approx \frac{8 \cdot 2.45}{7} \approx \frac{19.6}{7} \approx 2.8$ cm'dir. Seçeneklere baktığımızda, bu değere en yakın olan seçenek A) 2'dir.

Cevap A seçeneğidir.