Bir mühendis, iki bina arasındaki mesafeyi ölçmek için bir üçgen model oluşturuyor. Modeldeki üçgenin kenar uzunlukları 7 cm, 24 cm ve 25 cm'dir. Bu model için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?
A) Üçgen çizilemez
B) Dar açılı üçgendir
C) Dik üçgendir
D) Geniş açılı üçgendir
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir üçgenin kenar uzunlukları verilmiş ve bu üçgenin türünü belirlememiz isteniyor. Bir üçgenin kenar uzunlukları verildiğinde, öncelikle böyle bir üçgenin çizilip çizilemeyeceğini kontrol ederiz, ardından da açılarının durumuna göre (dar, dik veya geniş açılı) sınıflandırırız.
- Adım 1: Üçgen Eşitsizliğini Kontrol Etme
- Bir üçgenin çizilebilmesi için, herhangi iki kenarının uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyük olmalıdır. Bu kurala "Üçgen Eşitsizliği" denir. Verilen kenar uzunlukları 7 cm, 24 cm ve 25 cm'dir.
- Kontrol edelim:
- $7 + 24 > 25 \Rightarrow 31 > 25$ (Doğru)
- $7 + 25 > 24 \Rightarrow 32 > 24$ (Doğru)
- $24 + 25 > 7 \Rightarrow 49 > 7$ (Doğru)
- Tüm koşullar sağlandığı için, bu kenar uzunluklarına sahip bir üçgen çizilebilir. Bu durumda A seçeneği ("Üçgen çizilemez") doğru değildir.
- Adım 2: Üçgenin Türünü Belirleme (Pisagor Teoremi ve Tersini Kullanma)
- Bir üçgenin açılarının durumunu belirlemek için Pisagor Teoremi'nin tersini kullanırız. Kenar uzunlukları $a$, $b$ ve $c$ olan bir üçgende, $c$ en uzun kenar olmak üzere:
- Eğer $a^2 + b^2 = c^2$ ise, üçgen dik açılı bir üçgendir.
- Eğer $a^2 + b^2 > c^2$ ise, üçgen dar açılı bir üçgendir.
- Eğer $a^2 + b^2 < c^2$ ise, üçgen geniş açılı bir üçgendir.
- Verilen kenar uzunlukları 7 cm, 24 cm ve 25 cm'dir. En uzun kenar $c = 25$ cm'dir. Diğer kenarlar $a = 7$ cm ve $b = 24$ cm'dir.
- Şimdi karelerini hesaplayalım:
- $a^2 = 7^2 = 49$
- $b^2 = 24^2 = 576$
- $c^2 = 25^2 = 625$
- Şimdi $a^2 + b^2$ ile $c^2$ değerlerini karşılaştıralım:
- $a^2 + b^2 = 49 + 576 = 625$
- $c^2 = 625$
- Gördüğümüz gibi, $a^2 + b^2 = c^2$ ($625 = 625$) eşitliği sağlanmaktadır.
- Bu durum, üçgenin dik açılı bir üçgen olduğunu gösterir.
Bu nedenle, verilen kenar uzunluklarına sahip üçgen dik üçgendir.
Cevap C seçeneğidir.
