10. Sınıf Muhteşem Üçlü Nedir? Test 2

Bir üçgende kenar uzunlukları $x$, $x+1$ ve $x+2$ birimdir. Bu üçgenin dik üçgen olabilmesi için $x$ kaç olmalıdır?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, kenar uzunlukları $x$, $x+1$ ve $x+2$ olan bir üçgenin dik üçgen olabilmesi için $x$ değerini bulmamız isteniyor. Bir üçgenin dik üçgen olabilmesi için Pisagor Teoremi'ni sağlaması gerekir. Haydi adım adım çözelim:

• 1. Pisagor Teoremi'ni Hatırlayalım:

  Pisagor Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün (en uzun kenarın) karesine eşittir. Yani, dik kenarlar $a$ ve $b$, hipotenüs $c$ ise, $a^2 + b^2 = c^2$ bağıntısı geçerlidir.

• 2. En Uzun Kenarı (Hipotenüsü) Belirleyelim:

  Üçgenin kenar uzunlukları $x$, $x+1$ ve $x+2$ olarak verilmiş. Kenar uzunlukları pozitif sayılar olmak zorunda olduğu için ($x > 0$), bu kenarlar arasında en uzunu $x+2$ olacaktır. Dolayısıyla, $x+2$ hipotenüs olmalıdır. Diğer kenarlar $x$ ve $x+1$ ise dik kenarlar olacaktır.

• 3. Pisagor Teoremi'ni Uygulayalım:

  Şimdi Pisagor Teoremi'ni kenar uzunluklarımıza uygulayalım:

  $(x)^2 + (x+1)^2 = (x+2)^2$

• 4. Denklemi Açalım ve Düzenleyelim:

  Parantez kare ifadelerini açalım:

  • $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$
  • $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$

  Bu ifadeleri denklemimize yerine yazalım:

  $x^2 + (x^2 + 2x + 1) = (x^2 + 4x + 4)$

  Denklemin sol tarafını toparlayalım:

  $2x^2 + 2x + 1 = x^2 + 4x + 4$

• 5. Denklemi Çözelim (İkinci Dereceden Denklem):

  Tüm terimleri denklemin bir tarafına toplayarak ikinci dereceden bir denklem elde edelim:

  $2x^2 - x^2 + 2x - 4x + 1 - 4 = 0$

  $x^2 - 2x - 3 = 0$

  Bu denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz. Çarpımları $-3$, toplamları $-2$ olan iki sayı $-3$ ve $1$'dir.

  $(x-3)(x+1) = 0$

  Bu denklemin iki olası çözümü vardır:

  • $x-3 = 0 \implies x = 3$
  • $x+1 = 0 \implies x = -1$
• 6. Geçerli Çözümü Seçelim:

  Bir üçgenin kenar uzunluğu negatif olamaz. Bu nedenle $x = -1$ değeri geçersizdir. O halde, $x$ değeri $3$ olmalıdır.

• 7. Cevabı Kontrol Edelim:

  Eğer $x=3$ olursa, üçgenin kenar uzunlukları şunlar olur:

  • $x = 3$
  • $x+1 = 3+1 = 4$
  • $x+2 = 3+2 = 5$

  Kenarları $3, 4, 5$ olan bir üçgenin dik üçgen olup olmadığını kontrol edelim:

  $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

  $5^2 = 25$

  Gördüğümüz gibi $3^2 + 4^2 = 5^2$ eşitliği sağlanmaktadır. Bu da $x=3$ değerinin doğru olduğunu gösterir.

Cevap B seçeneğidir.