ABC üçgeninde sinA = 3/5, sinB = 4/5 ve |BC| = 12 cm olduğuna göre, |AC| kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
A) 9
B) 12
C) 15
D) 16
Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için üçgenlerdeki Sinüs Teoremi'ni kullanacağız. Sinüs Teoremi, bir üçgenin kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların sinüsleri arasındaki ilişkiyi kurar. Bu teorem sayesinde, bazı kenar uzunlukları ve açı sinüsleri bilindiğinde, diğer kenar uzunluklarını kolayca bulabiliriz.
- 1. Sinüs Teoremi'ni Hatırlayalım:
- Bir ABC üçgeninde, kenar uzunlukları $a, b, c$ ve bu kenarların karşısındaki açılar $A, B, C$ olmak üzere Sinüs Teoremi şu şekildedir:
- $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
- Burada $a$ kenarı $A$ açısının karşısındaki kenar yani $|BC|$, $b$ kenarı $B$ açısının karşısındaki kenar yani $|AC|$ ve $c$ kenarı $C$ açısının karşısındaki kenar yani $|AB|$'dir.
- 2. Verilenleri ve İstenenleri Belirleyelim:
- Bize verilenler:
- $\sin A = \frac{4}{5}$
- $\sin B = \frac{3}{5}$
- $|BC| = 12$ cm (yani $a = 12$)
- Bizden istenen: $|AC|$ kenarının uzunluğu (yani $b$)
- 3. Sinüs Teoremi'ni Uygulayalım:
- İhtiyacımız olan kısım $\frac{|BC|}{\sin A} = \frac{|AC|}{\sin B}$ eşitliğidir.
- Belirlediğimiz değerleri bu eşitlikte yerine yazalım:
- $\frac{12}{\frac{4}{5}} = \frac{|AC|}{\frac{3}{5}}$
- 4. Denklemi Çözelim:
- Denklemi adım adım çözerek $|AC|$ uzunluğunu bulalım:
- Sol tarafı düzenleyelim: $\frac{12}{\frac{4}{5}} = 12 \times \frac{5}{4} = \frac{60}{4} = 15$
- Şimdi denklemimiz şu hale geldi: $15 = \frac{|AC|}{\frac{3}{5}}$
- $|AC|$'yi bulmak için eşitliğin her iki tarafını $\frac{3}{5}$ ile çarpalım:
- $|AC| = 15 \times \frac{3}{5}$
- $|AC| = \frac{45}{5}$
- $|AC| = 9$ cm olarak bulunur.
Cevap A seçeneğidir.
