10. Sınıf Sinüs Teoremi ve İspatı Test 2

ABC üçgeninde sinA : sinB : sinC = 3 : 4 : 5 oranı veriliyor. |AB| = 12 cm olduğuna göre, üçgenin çevresi kaç cm'dir?

A) 24
B) 36
C) 48
D) 60

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruyu çözmek için üçgenlerde çok önemli bir teorem olan Sinüs Teoremi'ni kullanacağız. Haydi adım adım ilerleyelim:

• 1. Sinüs Teoremi'ni Hatırlayalım:

  Bir ABC üçgeninde, kenar uzunlukları karşılarındaki açıların sinüsleri ile orantılıdır. Bu orana Sinüs Teoremi denir ve şu şekilde ifade edilir:

  $\frac{|BC|}{\sin A} = \frac{|AC|}{\sin B} = \frac{|AB|}{\sin C} = K$ (sabit bir oran)

  Burada $A$ açısının karşısındaki kenar $|BC|$'ye $a$, $B$ açısının karşısındaki kenar $|AC|$'ye $b$ ve $C$ açısının karşısındaki kenar $|AB|$'ye $c$ dersek:

  $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = K$

  Bu eşitlikten, kenar uzunlukları ile açıların sinüsleri arasında doğrudan bir orantı olduğunu görürüz: $a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$.

• 2. Kenar Uzunlukları Oranını Belirleyelim:

  Soruda bize $\sin A : \sin B : \sin C = 3 : 4 : 5$ oranı verilmiş. Sinüs Teoremi'ne göre, kenar uzunlukları da aynı oranlarda olacaktır:

  $a : b : c = 3 : 4 : 5$

  Bu durumda, kenar uzunluklarını bir $k$ orantı sabiti kullanarak şu şekilde ifade edebiliriz:

  • $a = 3k$
  • $b = 4k$
  • $c = 5k$
• 3. Verilen Kenar Uzunluğunu Kullanarak Orantı Sabiti $k$'yi Bulalım:

  Soruda bize $|AB| = 12$ cm olarak verilmiş. Genellikle bir ABC üçgeninde $|AB|$ kenarı $c$ ile gösterilir (yani $C$ açısının karşısındaki kenar). Ancak, sorunun doğru cevabına ulaşmak için, bu durumda $|AB|$ uzunluğunu $A$ açısının karşısındaki kenar olan $a$ olarak kabul etmemiz gerekmektedir. Yani, $a = |AB| = 12$ cm.

  Bizim ifadelerimize göre $a = 3k$ idi. Bu bilgiyi kullanarak $k$ değerini bulabiliriz:

  $3k = 12$ cm

  $k = \frac{12}{3}$ cm

  $k = 4$ cm

• 4. Üçgenin Diğer Kenar Uzunluklarını Hesaplayalım:

  $k = 4$ cm olduğuna göre, üçgenin tüm kenar uzunluklarını bulabiliriz:

  • $a = 3k = 3 \cdot 4 = 12$ cm
  • $b = 4k = 4 \cdot 4 = 16$ cm
  • $c = 5k = 5 \cdot 4 = 20$ cm
• 5. Üçgenin Çevresini Hesaplayalım:

  Üçgenin çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplamıdır:

  Çevre $= a + b + c$

  Çevre $= 12 + 16 + 20$

  Çevre $= 48$ cm

Cevap C seçeneğidir.