Merhaba sevgili öğrenciler, bu problemde dört basamaklı bir sayının basamak değerleri ve yer değiştirmesiyle oluşan farkı inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyerek çözüme ulaşalım:
-
1. Sayıyı Matematiksel Olarak İfade Edelim:
Dört basamaklı sayımızı genel olarak $ABCD$ şeklinde gösterelim. Burada:
- $A$: Binler basamağındaki rakam
- $B$: Yüzler basamağındaki rakam
- $C$: Onlar basamağındaki rakam
- $D$: Birler basamağındaki rakam
Bu sayının matematiksel değeri şöyledir:
$1000A + 100B + 10C + D$
-
2. Rakamlar Yer Değiştirince Oluşan Yeni Sayıyı Bulalım:
Soruda binler ($A$) ve yüzler ($B$) basamağındaki rakamların yer değiştirdiği belirtiliyor. Bu durumda yeni sayımız $BACD$ şeklinde olur.
Bu yeni sayının matematiksel değeri ise şöyledir:
$1000B + 100A + 10C + D$
-
3. Sayıdaki Azalmayı Denklem Olarak Yazalım:
Sayı yer değiştirmeden sonra 3600 azaldığına göre, ilk sayıdan yeni sayıyı çıkardığımızda 3600 elde etmeliyiz:
$(1000A + 100B + 10C + D) - (1000B + 100A + 10C + D) = 3600$
-
4. Denklemi Çözerek $A$ ve $B$ Arasındaki İlişkiyi Bulalım:
Şimdi denklemi basitleştirelim. Parantezleri açarken ikinci parantezdeki terimlerin işaretlerini değiştirmeyi unutmayalım:
$1000A + 100B + 10C + D - 1000B - 100A - 10C - D = 3600$
Benzer terimleri bir araya getirelim:
$(1000A - 100A) + (100B - 1000B) + (10C - 10C) + (D - D) = 3600$
$900A - 900B = 3600$
Eşitliğin her iki tarafını 900'e bölelim:
$900(A - B) = 3600$
$A - B = \frac{3600}{900}$
$A - B = 4$
Bu, binler basamağındaki rakam ($A$) ile yüzler basamağındaki rakam ($B$) arasındaki farkın 4 olduğu anlamına gelir.
-
5. Bu İki Rakamın Toplamını Bulalım:
$A$ ve $B$ birer rakamdır ve $A \neq 0$ olmak zorundadır (çünkü $A$ binler basamağındadır). Ayrıca rakamların birbirinden farklı olduğu belirtilmiştir, yani $A \neq B$. $A-B=4$ olduğu için $A > B$ olmalıdır.
Şimdi $A-B=4$ koşulunu sağlayan olası $(A, B)$ rakam çiftlerini ve bu çiftlerin toplamını ($A+B$) inceleyelim:
- Eğer $B=0$ ise, $A=4$. Bu durumda $A+B = 4+0 = 4$.
- Eğer $B=1$ ise, $A=5$. Bu durumda $A+B = 5+1 = 6$.
- Eğer $B=2$ ise, $A=6$. Bu durumda $A+B = 6+2 = 8$.
- Eğer $B=3$ ise, $A=7$. Bu durumda $A+B = 7+3 = 10$.
- Eğer $B=4$ ise, $A=8$. Bu durumda $A+B = 8+4 = 12$.
- Eğer $B=5$ ise, $A=9$. Bu durumda $A+B = 9+5 = 14$.
- Eğer $B=6$ ise, $A=10$ olur ki bu bir rakam değildir, bu yüzden burada dururuz.
Soruda bu iki rakamın toplamı isteniyor ve bize seçenekler verilmiş. Yukarıdaki olası toplamları seçeneklerle karşılaştırdığımızda, $A+B=12$ değeri C seçeneğinde bulunmaktadır.
Örneğin, $A=8$ ve $B=4$ için $A-B=4$ sağlanır ve $A+B=12$ olur. Bu durumda sayı $84CD$ şeklinde olabilir. Rakamları farklı olması için $C$ ve $D$ de 8 ve 4'ten farklı olmalıdır (örneğin $8401$).
Bu durumda, bu iki rakamın toplamı 12'dir.
Cevap C seçeneğidir.
