Koordinat sisteminde A(1,3) ve B(2,5) noktalarından geçen doğru ile C(0,1) ve D(3,7) noktalarından geçen doğrunun durumu nedir?
A) Paraleldir
B) Diktir
C) Çakışıktır
D) Kesişir ama dik değildir
Merhaba sevgili öğrenciler!
Koordinat sisteminde iki doğrunun birbirine göre durumunu anlamak için öncelikle bu doğruların eğimlerini bulmamız gerekir. Eğim, bir doğrunun yatay eksenle yaptığı açının tanjantı olup, doğrunun ne kadar "eğimli" olduğunu gösterir. İki nokta verilen bir doğrunun eğimi $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ formülüyle bulunur.
- 1. Adım: A(1,3) ve B(2,5) noktalarından geçen doğrunun (D1) eğimini bulalım.
- $x_1 = 1$, $y_1 = 3$
- $x_2 = 2$, $y_2 = 5$
- $m_1 = \frac{5 - 3}{2 - 1} = \frac{2}{1} = 2$
- İlk doğrumuzun eğimi $m_1 = 2$'dir.
- 2. Adım: C(0,1) ve D(3,7) noktalarından geçen doğrunun (D2) eğimini bulalım.
- $x_1 = 0$, $y_1 = 1$
- $x_2 = 3$, $y_2 = 7$
- $m_2 = \frac{7 - 1}{3 - 0} = \frac{6}{3} = 2$
- İkinci doğrumuzun eğimi $m_2 = 2$'dir.
- 3. Adım: Eğimleri karşılaştıralım ve doğruların durumunu değerlendirelim.
- Gördüğümüz gibi, her iki doğrunun eğimi de $2$'dir ($m_1 = m_2 = 2$).
- Eğimleri eşit olan doğrular ya paraleldir ya da çakışıktır (yani aynı doğrudur). Bu iki durumu ayırt etmek için, doğruların ortak bir noktası olup olmadığını kontrol etmeliyiz. Eğer ortak bir noktaları varsa, o zaman çakışıktırlar.
- 4. Adım: Doğruların çakışık olup olmadığını kontrol edelim.
- Bunu yapmak için, birinci doğrunun denklemini bulup, ikinci doğrunun noktalarından birinin bu denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol edebiliriz.
- Birinci doğrunun denklemini $y - y_1 = m(x - x_1)$ formülüyle bulalım. A(1,3) noktasını ve $m_1 = 2$ eğimini kullanalım:
- $y - 3 = 2(x - 1)$
- $y - 3 = 2x - 2$
- $y = 2x + 1$
- Şimdi, ikinci doğrunun noktalarından biri olan C(0,1) noktasını bu denklemde yerine koyalım:
- $1 = 2(0) + 1$
- $1 = 0 + 1$
- $1 = 1$
- Gördüğümüz gibi, C(0,1) noktası $y = 2x + 1$ denklemini sağlamaktadır. Bu, C noktasının birinci doğru üzerinde de olduğu anlamına gelir.
- Eğimleri eşit olan iki doğru, aynı zamanda ortak bir noktaya sahipse, bu doğrular aslında aynı doğrudur, yani çakışıktırlar.
Bu durumda, A(1,3) ve B(2,5) noktalarından geçen doğru ile C(0,1) ve D(3,7) noktalarından geçen doğru çakışıktır.
Cevap C seçeneğidir.
