Birim fonksiyon Test 5

f: R → R fonksiyonu f(x) = (k-3)x³ + (m+1)x² + (n-2)x + p şeklinde veriliyor. f birim fonksiyon olduğuna göre k + m + n + p kaçtır?

A) 5
B) 6
C) 7
D) 8

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu soruda, bir fonksiyonun birim fonksiyon olma özelliğini kullanarak bilinmeyen katsayıları bulacağız. Ardından bu katsayıların toplamını hesaplayacağız. Hazırsanız, adım adım ilerleyelim!

• Birim Fonksiyon Nedir?

  Birim fonksiyon, matematikte çok özel bir fonksiyondur. Tanımı gereği, $f(x) = x$ şeklinde olan fonksiyondur. Yani, fonksiyona hangi değeri verirseniz, sonuç olarak o değeri geri alırsınız. Örneğin, $f(5)=5$, $f(a)=a$ gibi. Bu fonksiyon, giriş değerini değiştirmeden çıkış olarak geri verir.

  Soruda bize verilen fonksiyon $f(x) = (k-3)x^3 + (m+1)x^2 + (n-2)x + p$ şeklindedir.

  Bu fonksiyonun birim fonksiyon olabilmesi için, $f(x)$ ifadesinin $x$'e eşit olması gerekir. Yani:

  $(k-3)x^3 + (m+1)x^2 + (n-2)x + p = x$

• Katsayıları Eşitleme

  Eşitliğin sağ tarafındaki $x$ ifadesini, sol taraftaki gibi bir polinom şeklinde yazabiliriz. Böylece her iki taraftaki terimleri daha kolay karşılaştırabiliriz:

  $x = 0 \cdot x^3 + 0 \cdot x^2 + 1 \cdot x + 0$

  Şimdi, her iki taraftaki aynı dereceli terimlerin katsayılarını birbirine eşitleyelim. Bir polinomun bir diğerine eşit olması için, aynı dereceli terimlerinin katsayıları eşit olmalıdır:

  • $x^3$ teriminin katsayısı: Sol tarafta $(k-3)$, sağ tarafta $0$. O halde, $k-3 = 0$.
  • $x^2$ teriminin katsayısı: Sol tarafta $(m+1)$, sağ tarafta $0$. O halde, $m+1 = 0$.
  • $x$ teriminin katsayısı: Sol tarafta $(n-2)$, sağ tarafta $1$. O halde, $n-2 = 1$.
  • Sabit terim: Sol tarafta $p$, sağ tarafta $0$. O halde, $p = 0$.

• Bilinmeyen Katsayıları Bulma

  Şimdi bu basit denklemleri çözerek $k, m, n, p$ değerlerini bulalım:

  • $k-3 = 0 \Rightarrow k = 3$
  • $m+1 = 0 \Rightarrow m = -1$
  • $n-2 = 1 \Rightarrow n = 1+2 \Rightarrow n = 3$
  • $p = 0$

• Katsayıların Toplamını Hesaplama

  Son adım olarak, bulduğumuz $k, m, n, p$ değerlerini toplayalım:

  $k + m + n + p = 3 + (-1) + 3 + 0$

  $k + m + n + p = 2 + 3 + 0$

  $k + m + n + p = 5$

Cevap C seçeneğidir.