Bir doğal sayının pozitif bölen sayısı 8'dir. Bu sayının pozitif bölenler toplamı 216 ise, sayının kendisi kaçtır?
A) 100Bu tür soruları çözmek için, bir doğal sayının pozitif bölen sayısını ve pozitif bölenler toplamını bulma formüllerini bilmemiz gerekir. Sayımız $N$ olsun.
1. Temel Formülleri Hatırlayalım:
Bir doğal sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali $N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}$ şeklinde ise (burada $p_i$ farklı asal sayılar ve $a_i$ pozitif tam sayılardır):
Pozitif Bölen Sayısı (PBS): $PBS(N) = (a_1+1)(a_2+1)\ldots(a_k+1)$
Pozitif Bölenler Toplamı (PBT): $PBT(N) = \left(\frac{p_1^{a_1+1}-1}{p_1-1}\right) \left(\frac{p_2^{a_2+1}-1}{p_2-1}\right) \ldots \left(\frac{p_k^{a_k+1}-1}{p_k-1}\right)$
2. Pozitif Bölen Sayısı (8) Durumlarını İnceleyelim:
Soruda sayının pozitif bölen sayısının 8 olduğu belirtilmiş. $(a_1+1)(a_2+1)\ldots(a_k+1) = 8$ eşitliğini sağlayan $a_i+1$ değerlerini bulmalıyız. Bu durumlar bize sayının asal çarpanlarının üsleri hakkında bilgi verir:
Durum 1: Tek bir asal çarpanı varsa.
$a_1+1 = 8 \implies a_1 = 7$. Bu durumda sayımız $N = p^7$ şeklinde olmalıdır (burada $p$ bir asal sayıdır).
Durum 2: İki farklı asal çarpanı varsa.
$(a_1+1)(a_2+1) = 8$. Olası çarpan çiftleri $(4, 2)$'dir (veya $(2, 4)$). Bu durumda $a_1=3$ ve $a_2=1$ olur. Sayımız $N = p_1^3 \cdot p_2^1$ şeklinde olmalıdır (burada $p_1$ ve $p_2$ farklı asal sayılardır).
Durum 3: Üç farklı asal çarpanı varsa.
$(a_1+1)(a_2+1)(a_3+1) = 8$. Olası çarpan üçlüsü $(2, 2, 2)$'dir. Bu durumda $a_1=1$, $a_2=1$, $a_3=1$ olur. Sayımız $N = p_1^1 \cdot p_2^1 \cdot p_3^1 = p_1 p_2 p_3$ şeklinde olmalıdır (burada $p_1, p_2, p_3$ farklı asal sayılardır).
3. Pozitif Bölenler Toplamı (216) Şartını Uygulayalım:
Şimdi her bir durumu ayrı ayrı inceleyerek pozitif bölenler toplamının 216 olmasını sağlayacak sayıları bulmaya çalışalım.
Durum 1: $N = p^7$
$PBT(N) = \frac{p^{7+1}-1}{p-1} = \frac{p^8-1}{p-1} = 216$.
Eğer $p=2$ ise: $PBT(N) = \frac{2^8-1}{2-1} = \frac{256-1}{1} = 255$. Bu değer 216'dan büyüktür.
Eğer $p=3$ ise: $PBT(N) = \frac{3^8-1}{3-1} = \frac{6561-1}{2} = \frac{6560}{2} = 3280$. Bu değer çok daha büyüktür.
Asal sayı $p$ büyüdükçe bölenler toplamı da artacağından, bu durumda 216'yı sağlayan bir $N$ sayısı bulamayız.
Durum 2: $N = p_1^3 \cdot p_2^1$
$PBT(N) = \left(\frac{p_1^{3+1}-1}{p_1-1}\right) \left(\frac{p_2^{1+1}-1}{p_2-1}\right) = (p_1^3+p_1^2+p_1+1)(p_2+1) = 216$.
Küçük asal sayılardan başlayarak deneyelim. $p_2$ için en küçük asal sayı olan 2'yi seçelim (çünkü $p_1$ daha büyük bir üsse sahip olduğu için daha hızlı büyüyecektir):
$PBT(N) = (p_1^3+p_1^2+p_1+1)(2+1) = (p_1^3+p_1^2+p_1+1)(3) = 216$.
$p_1^3+p_1^2+p_1+1 = \frac{216}{3} = 72$.
Eğer $p_1=2$ ise: $2^3+2^2+2+1 = 8+4+2+1 = 15$. (Fakat $p_1$ ve $p_2$ farklı asal sayılar olmalı, yani $p_1 \neq 2$).
Eğer $p_1=3$ ise: $3^3+3^2+3+1 = 27+9+3+1 = 40$. (72'den küçük).
Eğer $p_1=5$ ise: $5^3+5^2+5+1 = 125+25+5+1 = 156$. (72'den büyük).
$p_1=3$ için 40, $p_1=5$ için 156 olduğundan, 72 değerini veren bir asal $p_1$ yoktur. Bu durumda da bir çözüm bulamayız.
Durum 3: $N = p_1 p_2 p_3$
$PBT(N) = (p_1+1)(p_2+1)(p_3+1) = 216$.
En küçük asal sayılardan başlayarak deneyelim:
Deneme 1: $p_1=2, p_2=3$ olsun.
$(2+1)(3+1)(p_3+1) = 3 \cdot 4 \cdot (p_3+1) = 12(p_3+1) = 216$.
$p_3+1 = \frac{216}{12} = 18$.
$p_3 = 17$.
$p_1=2, p_2=3, p_3=17$ farklı asal sayılardır. Bu durumda $N = 2 \cdot 3 \cdot 17 = 6 \cdot 17 = 102$.
Kontrol edelim: $PBS(102) = (1+1)(1+1)(1+1) = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. $PBT(102) = (2+1)(3+1)(17+1) = 3 \cdot 4 \cdot 18 = 12 \cdot 18 = 216$. Bu sayı şartları sağlıyor.
Deneme 2: $p_1=2, p_2=5$ olsun.
$(2+1)(5+1)(p_3+1) = 3 \cdot 6 \cdot (p_3+1) = 18(p_3+1) = 216$.
$p_3+1 = \frac{216}{18} = 12$.
$p_3 = 11$.
$p_1=2, p_2=5, p_3=11$ farklı asal sayılardır. Bu durumda $N = 2 \cdot 5 \cdot 11 = 10 \cdot 11 = 110$.
Kontrol edelim: $PBS(110) = (1+1)(1+1)(1+1) = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. $PBT(110) = (2+1)(5+1)(11+1) = 3 \cdot 6 \cdot 12 = 18 \cdot 12 = 216$. Bu sayı da şartları sağlıyor.
Deneme 3: $p_1=2, p_2=7$ olsun.
$(2+1)(7+1)(p_3+1) = 3 \cdot 8 \cdot (p_3+1) = 24(p_3+1) = 216$.
$p_3+1 = \frac{216}{24} = 9$.
$p_3 = 8$. Bu bir asal sayı değildir. Dolayısıyla bu durumdan bir çözüm gelmez.
Deneme 4: $p_1=3, p_2=5$ olsun.
$(3+1)(5+1)(p_3+1) = 4 \cdot 6 \cdot (p_3+1) = 24(p_3+1) = 216$.
$p_3+1 = \frac{216}{24} = 9$.
$p_3 = 8$. Bu bir asal sayı değildir. Dolayısıyla bu durumdan da bir çözüm gelmez.
4. Sonucu Belirleyelim:
Yaptığımız incelemeler sonucunda, şartları sağlayan iki doğal sayı bulduk: 102 ve 110. Seçeneklere baktığımızda 110 sayısının C seçeneğinde yer aldığını görüyoruz.
Cevap C seçeneğidir.
