10. Sınıf Üçgenin İç Teğet Çemberi ve Merkezi Test 2

Bir üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı r, çevresi Ç ve alanı A olmak üzere aşağıdaki bağıntılardan hangisi doğrudur?

A) A = r × Ç
B) A = r × Ç/2
C) A = 2r × Ç
D) A = r² × Ç

Bu soruda, bir üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı ($r$), çevresi ($\text{Ç}$) ve alanı ($A$) arasındaki temel bir ilişkiyi bulmamız isteniyor. Gelin, bu formülü adım adım nasıl elde ettiğimizi görelim.

• 1. İç Teğet Çember ve Yarıçapı (İnradius) Nedir?

  Bir üçgenin iç teğet çemberi, üçgenin her üç kenarına da teğet olan çemberdir. Bu çemberin merkezi, üçgenin iç açıortaylarının kesişim noktasıdır ve bu noktaya iç merkez denir. İç teğet çemberin yarıçapına ise iç teğet çember yarıçapı veya kısaca inradius denir ve genellikle $r$ ile gösterilir.

• 2. Üçgeni Parçalara Ayırma

  Bir $ABC$ üçgeni düşünelim. Kenar uzunlukları $a$, $b$ ve $c$ olsun. İç teğet çemberin merkezi $I$ olsun. $I$ noktasını üçgenin köşeleri olan $A$, $B$ ve $C$ noktalarına birleştirdiğimizde, büyük $ABC$ üçgenini üç küçük üçgene ayırmış oluruz: $IBC$, $ICA$ ve $IAB$ üçgenleri.

• 3. Küçük Üçgenlerin Alanları ve Yükseklikleri

  Her bir küçük üçgenin tabanı, büyük üçgenin bir kenarıdır ($a$, $b$ veya $c$). Bu küçük üçgenlerin yükseklikleri ise iç merkez $I$'dan ilgili kenara indirilen dikmelerdir. İç teğet çemberin tanımı gereği, iç merkezden kenarlara indirilen dikmelerin uzunluğu, iç teğet çemberin yarıçapı $r$'ye eşittir. Yani, $IBC$ üçgeninin yüksekliği $r$, $ICA$ üçgeninin yüksekliği $r$ ve $IAB$ üçgeninin yüksekliği de $r$'dir.

• 4. Toplam Alanı Hesaplama

  Büyük $ABC$ üçgeninin toplam alanı ($A$), bu üç küçük üçgenin alanlarının toplamına eşittir:

  $A = A_{IBC} + A_{ICA} + A_{IAB}$

  Her bir küçük üçgenin alanını (taban $\times$ yükseklik $/ 2$) yerine yazarsak:

  $A = \frac{1}{2} \times a \times r + \frac{1}{2} \times b \times r + \frac{1}{2} \times c \times r$

• 5. Formülü Sadeleştirme

  Yukarıdaki ifadede ortak çarpanları dışarı alabiliriz. Gördüğümüz gibi, her terimde $\frac{1}{2}$ ve $r$ çarpanları bulunmaktadır:

  $A = \frac{1}{2} \times r \times (a + b + c)$

• 6. Çevre ile İlişkilendirme

  Bir üçgenin çevresi ($\text{Ç}$), kenar uzunluklarının toplamına eşittir. Yani, $\text{Ç} = a + b + c$.

  Bu bilgiyi formülümüzde yerine koyarsak:

  $A = \frac{1}{2} \times r \times \text{Ç}$

  Veya daha yaygın yazılışıyla:

  $A = r \times \frac{\text{Ç}}{2}$

• 7. Seçenekleri Karşılaştırma

  Elde ettiğimiz bu formülü seçeneklerle karşılaştırdığımızda:

  • A) $A = r \times \text{Ç}$ (Yanlış)
  • B) $A = r \times \text{Ç}/2$ (Doğru)
  • C) $A = 2r \times \text{Ç}$ (Yanlış)
  • D) $A = r^2 \times \text{Ç}$ (Yanlış)

Bu formül, üçgenin alanı ile iç teğet çember yarıçapı ve çevresi arasındaki çok önemli bir ilişkidir. Genellikle $A = rs$ şeklinde de gösterilir, burada $s$ üçgenin yarı çevresidir ($s = \text{Ç}/2$).

Cevap B seçeneğidir.