Soru:
Bir \(ABC\) dik üçgeninde, \(m(\widehat{A}) = 90^\circ\)'dir. \(|AB| = 6\) cm ve \(|AC| = 8\) cm olduğuna göre, üçgenin iç teğet çember merkezinin (\(I\)) \(A\) köşesine olan uzaklığı (\(|IA|\)) kaç cm'dir?
Çözüm:
💡 Bir dik üçgende iç teğet çember merkezinin köşelere uzaklığı, özellikle dik köşeye olan uzaklık, kenar uzunlukları ve yarıçap cinsinden bulunabilir.
- ➡️ Adım 1: Öncelikle hipotenüsü ve yarı çevreyi bulalım. Hipotenüs \(|BC| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\) cm. Yarı çevre \(u = \frac{6+8+10}{2} = \frac{24}{2} = 12\) cm.
- ➡️ Adım 2: İç teğet çemberin yarıçapını (\(r\)) bulalım. Dik üçgenin alanı \(S = \frac{6 \times 8}{2} = 24\) cm²'dir. \(r = \frac{S}{u} = \frac{24}{12} = 2\) cm.
- ➡️ Adım 3: \(I\) noktası, açıortayların kesişimidir. \(A\) köşesinden çizilen açıortay, \(I\) noktasından geçer. \(A\) köşesindeki dik açı iki eşit \(45^\circ\)'lik açıya bölünür. \(A\)'dan \(I\)'ya çizilen doğru parçasının uzunluğunu bulmak için, \(I\) noktasının \(AB\) ve \(AC\) kenarlarına olan uzaklıklarının \(r=2\) cm olduğunu ve bu uzaklıkların \(A\)'dan kenarlara indirilen dikmelerle bir kare oluşturduğunu düşünebiliriz. Aslında, \(I\) noktasının \(AB\) ve \(AC\) kenarlarına uzaklığı 2 cm olduğundan, \(A\)'dan \(I\)'ya olan uzaklık, bu dikmelerin \(A\)'ya olan uzaklıkları cinsinden bulunur. \(A\) noktasından \(I\) noktasına çizilen doğru, \(A\) açısının açıortayıdır. Açıortay üzerindeki bir noktanın kenarlara olan uzaklıkları eşittir ve bu zaten \(r\)'dir. \(A\)'dan \(I\)'ya olan uzaklık, \(AI = \frac{r}{\sin(45^\circ)} = \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2 \times 2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\) cm olarak bulunur.
✅ Sonuç: \(|IA| = 2\sqrt{2}\) cm'dir.
