Soru:
Çevresi 30 cm olan bir üçgenin iç teğet çemberi, üçgenin kenarlarını değme noktalarından 4 cm, 5 cm ve 6 cm uzunluklarında parçalara ayırıyorsa, bu üçgenin kenar uzunlukları nedir?
Çözüm:
💡 İç teğet çemberin kenarlara değdiği noktalar, kenarları ikişer parçaya ayırır ve bu parçaların uzunlukları, köşelere göre simetrik olarak eşittir.
- ➡️ Adım 1: Kenar parçalarını isimlendirelim. \(ABC\) üçgeninde, iç teğet çemberin \(BC\), \(CA\) ve \(AB\) kenarlarına değme noktaları sırasıyla \(D\), \(E\), \(F\) olsun.
- \(BD = BF = x\)
- \(CD = CE = y\)
- \(AE = AF = z\)
- ➡️ Adım 2: Soruda verilenlere göre, bu parçaların uzunlukları 4, 5 ve 6 cm'dir. Hangi parçanın hangisine eşit olduğunu bulmalıyız. Toplamları üçgenin çevresini verecektir: \(2(x + y + z) = 30 \Rightarrow x + y + z = 15\).
- ➡️ Adım 3: \(x, y, z\) sayıları {4, 5, 6} kümesinin bir permütasyonudur ve toplamları 15'tir. O halde \(x=4, y=5, z=6\) olabilir (veya farklı sıralamalar).
- ➡️ Adım 4: Kenar uzunluklarını bu değerler cinsinden yazalım:
- \(a = BC = BD + DC = x + y\)
- \(b = CA = CE + EA = y + z\)
- \(c = AB = AF + FB = z + x\)
- ➡️ Adım 5: \(x=4, y=5, z=6\) değerlerini yerine koyalım:
- \(a = 4 + 5 = 9\) cm
- \(b = 5 + 6 = 11\) cm
- \(c = 6 + 4 = 10\) cm
Bu değerlerin toplamı \(9+11+10=30\) cm'dir ve verilen çevreye eşittir. \(x, y, z\) değerlerinin sırası değişse de kenar uzunlukları değişmez, sadece hangi kenarın hangisi olduğu değişir. Örneğin \(x=5, y=6, z=4\) olsaydı, \(a=11, b=10, c=9\) cm olurdu. Yani kenar uzunlukları kümesi {9, 10, 11} cm'dir.
✅ Sonuç: Üçgenin kenar uzunlukları 9 cm, 10 cm ve 11 cm'dir.
