Soru:
Bir \(ABC\) dik üçgeninde, \(m(\widehat{A}) = 90^\circ\), \( |AB| = 6\) cm ve \( |AC| = 8\) cm'dir. Buna göre, iç teğet çemberin merkezinin (\(I\)) \(A\) köşesine olan uzaklığı kaç cm'dir?
Çözüm:
💡 İç teğet çemberin merkezi (\(I\)), açıortayların kesişim noktasıdır. \(A\) köşesinden çizilen açıortayın üzerinde yer alır. Bu uzaklığı bulmak için önce kenar uzunluklarını ve iç teğet çemberin yarıçapını bulmalıyız.
- ➡️ İlk adım, hipotenüsü (\( |BC| \)) Pisagor Teoremi ile bulmak: \( |BC| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\) cm.
- ➡️ İkinci adım, yarı çevreyi (\(u\)) hesaplamak: \(u = \frac{6+8+10}{2} = \frac{24}{2} = 12\) cm.
- ➡️ Üçüncü adım, iç teğet çemberin yarıçapını (\(r\)) bulmak. Dik üçgenin alanını iki yolla ifade edebiliriz: \(A = \frac{6 \times 8}{2} = 24\) cm² ve \(A = u \cdot r\). Buradan, \(24 = 12 \cdot r \Rightarrow r = 2\) cm.
- ➡️ Dördüncü adım, \(A\) köşesinden iç teğet çembere çizilen teğet parçalarının uzunluğunu (\(x\)) bulmaktır. Köşelerden çembere çizilen teğetlerin uzunlukları eşittir. \(A\) noktasından çizilen teğetlerin uzunluğu \(x\), \(B\) noktasından çizilenler \(6-x\), \(C\) noktasından çizilenler \(8-x\) olur. Bu parçaların toplamı çevreyi verir: \(x + (6-x) + (8-x) = 10\). Bu denklem bizi yanıltabilir, doğru yol şudur: \( |AB| = x + (6-x) \) gibi görünse de, asıl ilişki \( |AB| + |AC| = x + (6-x) + x + (8-x) \) değildir. Doğru formül, bir köşedeki teğet uzunluğunun \(s - a\) olduğudur, burada \(s\) yarı çevre, \(a\) ise o köşenin karşısındaki kenardır. \(A\) köşesindeki teğet uzunluğu: \(x = u - a = 12 - 10 = 2\) cm. Yani \( |AE| = |AF| = 2\) cm.
- ➡️ \(A\) köşesi dik açı olduğu için, \(I\) noktası bu açıortay üzerindedir ve açı \(45^\circ\)'ye bölünmüştür. \(A\)'dan çembere inen dikme aynı zamanda bir yarıçaptır (\(r=2\) cm). Oluşan \(AEI\) üçgeni bir ikizkenar dik üçgendir (Açılar: \(45^\circ, 45^\circ, 90^\circ\)). Hipotenüs \( |AI| \), dik kenarın \(\sqrt{2}\) katıdır: \( |AI| = r\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\) cm.
✅ Sonuç: İç teğet çember merkezinin \(A\) köşesine uzaklığı \(2\sqrt{2}\) cm'dir.
