Soru:
Bir dik üçgenin kenar uzunlukları \( 9 \) cm, \( 12 \) cm ve \( 15 \) cm'dir. Bu üçgenin iç teğet çemberinin, hipotenüse değdiği noktanın, dik köşeye (hipotenüsün karşısındaki köşe) daha yakın olan köşeye olan uzaklığını bulunuz.
Çözüm:
💡 Hipotenüs \( 15 \) cm'dir. İç teğet çemberin değme noktaları, hipotenüsü iki parçaya ayırır. Bu parçaların uzunluklarını bulmalıyız.
- ➡️ Önceki örnekteki gibi değişkenleri tanımlayalım. Dik köşe A, hipotenüsün karşısındaki köşe B, diğer köşe C olsun. Kenarlar: \( |AB| = c = 12 \) cm, \( |AC| = b = 9 \) cm, \( |BC| = a = 15 \) cm (hipotenüs).
- ➡️ İç teğet çemberin değme noktaları:
- \( |AF| = |AE| = x \)
- \( |BD| = |BF| = y \)
- \( |CD| = |CE| = z \)
- ➡️ Kenar uzunluklarını yazalım:
- \( |AB| = x + y = 12 \)
- \( |AC| = x + z = 9 \)
- \( |BC| = y + z = 15 \)
- ➡️ Bu üç denklemi çözelim. İlk iki denklemi taraf tarafa çıkarırsak: \( (x+y) - (x+z) = 12 - 9 \) → \( y - z = 3 \).
- ➡️ \( y - z = 3 \) ve \( y + z = 15 \) denklemlerini taraf tarafa toplayalım: \( 2y = 18 \) → \( y = 9 \).
- ➡️ \( y + z = 15 \) denkleminde \( y = 9 \) yerine koyarsak: \( 9 + z = 15 \) → \( z = 6 \).
- ➡️ Soruda, hipotenüs üzerinde, dik köşeye (A) daha yakın olan köşe C'dir (çünkü \( |AC| = 9 \) cm, \( |AB| = 12 \) cm). Hipotenüs üzerindeki değme noktası D'dir ve bu nokta hipotenüsü \( |BD| = y = 9 \) cm ve \( |DC| = z = 6 \) cm parçalarına ayırır. C köşesine olan uzaklık \( |DC| = z = 6 \) cm'dir.
✅ Sonuç: İstenen uzaklık \( 6 \) cm'dir.
