Soru:
Bir \(ABC\) üçgeninin çevresi 36 cm'dir. İç teğet çemberinin yarıçapı 4 cm ve alanı 72 cm² olduğuna göre, bu üçgenin iç teğet çember merkezinin (\(I\)) köşelere olan uzaklıklarının kareleri toplamı kaçtır?
Not: \(IA^2 + IB^2 + IC^2 = ?\)
Çözüm:
💡 Bu soruyu çözmek için iç teğet çember merkezinin kenarlara olan uzaklığının (\(r\)) ve üçgenin alanının verildiğini görüyoruz. Ayrıca, \(I\) noktasının köşelere uzaklıklarının kareleri toplamını bulmak için bir bağıntı kullanacağız.
- ➡️ Adım 1: Bilinenleri yazalım. Çevre = \(2u = 36 \Rightarrow u = 18\) cm. \(r = 4\) cm, \(S = 72\) cm².
- ➡️ Adım 2: \(IA^2 + IB^2 + IC^2 = s^2 - 2Rr\) bağıntısını hatırlayalım. Burada \(s\) yarı çevre değil, üçgenin kenar uzunluklarının kareleri toplamıdır (\(a^2+b^2+c^2\)) ve \(R\) çevrel çemberin yarıçapıdır. Öncelikle \(s = a^2+b^2+c^2\) değerini bulmalıyız.
- ➡️ Adım 3: \(S = r \cdot u\) formülünü kullanarak alanı kontrol edelim ve çevrel çember yarıçapını (\(R\)) bulalım. \(S = r \cdot u = 4 \times 18 = 72\) cm² (Verilen alanla uyumlu). Ayrıca \(S = \frac{abc}{4R}\) formülünden \(R\)'yi bulabiliriz ama \(a, b, c\) bilinmiyor. Bunun yerine, \(IA^2 + IB^2 + IC^2\) için farklı bir bağıntı kullanalım: \(IA^2 + IB^2 + IC^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 8Rr\). Bu da aynı bağıntıdır. \(a^2+b^2+c^2\)'yi bulmak için başka bir yol izlemeliyiz.
- ➡️ Adım 4 (Alternatif Yol): \(I\) noktası, kenarlara olan uzaklığı \(r\) olan bir noktadır. Ancak bu soru için daha pratik bir formül vardır: \(IA^2 + IB^2 + IC^2 = 4R^2 + 4Rr + 3r^2 - s^2\) gibi karmaşık formüller yerine, \(IA^2 + IB^2 + IC^2 = 8R^2 - 2Rr - (a^2+b^2+c^2)/2\) gibi formüller kafa karıştırır. En doğrusu, \(I\) noktasının konum vektörü özelliğini kullanmaktır: \(a\cdot \vec{IA} + b\cdot \vec{IB} + c\cdot \vec{IC} = \vec{0}\). Bu vektör bağıntısının büyüklük karesi alınırsa, \(a^2IA^2 + b^2IB^2 + c^2IC^2 + 2ab(\vec{IA}\cdot\vec{IB}) + ...\) şeklinde çok karmaşık olur. Bu nedenle, bu soru tipi için genel geçer bir formülü uygulayalım: \(IA^2 = \frac{bc((b+c)^2 - a^2)}{(a+b+c)^2}\) benzeri formüller çok uzun sürer. Sorunun bir hata içerdiği veya ek bir bilgi gerektirdiği düşünülebilir. Ancak, yaygın bir sonuç olarak, \(IA^2 + IB^2 + IC^2 = 16R^2 - 4Rr - 2r^2 - 8R^2 + ...\) şeklinde formüller mevcuttur. Pratik bir çözüm için, üçgenin eşkenar olduğunu varsayalım (çünkü çevre ve alan verilmiş). Eşkenar üçgende kenar \(a=12\) cm'dir (36/3=12). Eşkenar üçgende \(R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}\) cm ve \(r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{12}{2\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\) cm'dir. Verilen \(r=4\) cm ile uyuşmuyor! O halde üçgen eşkenar değil. Bu durumda soru ek bilgi olmadan çözülemez. Sorunun amacı \(s = a^2+b^2+c^2\)'yi bulmaksa, \(S^2 = r^2 (u^2 + 2Rr + r^2)\) gibi bir bağıntıdan \(R\) bulunup, sonra \(IA^2+IB^2+IC^2 = 8R^2 - 8Rr - (a^2+b^2+c^2)/2 + ...\) denenebilir, ancak bu seviye aşılır. Bu nedenle, bu soru tipik bir örnek değildir ve çözülebilir olması için üçgenin dik üçgen olduğu gibi ek bir bilgi verilmelidir. Bu yüzden bu soruyu atlayıp bir sonrakine geçmek en iyisidir.
✅ Sonuç: Verilenlerle tek bir sonuç bulunamaz. Sorunun çözülebilmesi için üçgenin kenarları veya açıları hakkında ek bilgi gereklidir.
