10. Sınıf Üçgende Alan Test 2

Koordinat düzleminde A(2,3), B(6,7) ve C(4,9) noktaları veriliyor. ABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

A) 6
B) 8
C) 10
D) 12

Koordinat düzleminde verilen üçgenin alanını bulmak için farklı yöntemler kullanabiliriz. En pratik yöntemlerden biri, 'Ayakkabı Bağcığı Formülü' olarak da bilinen determinant yöntemidir. Bu yöntem, noktaların koordinatlarını kullanarak alanı kolayca hesaplamamızı sağlar.

• 1. Adım: Alan Formülünü Tanıyalım

  Üçgenin köşeleri $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ ve $C(x_3, y_3)$ olsun. Bu durumda üçgenin alanı şu formülle bulunur:

  Alan $= \frac{1}{2} | (x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_1) |$

  Bu formülü daha kolay uygulamak için koordinatları alt alta yazıp çapraz çarpımlarını alacağız.

• 2. Adım: Koordinatları Alt Alta Yazalım

  Verilen noktalarımız $A(2,3)$, $B(6,7)$ ve $C(4,9)$. Bu noktaların koordinatlarını aşağıdaki gibi alt alta yazıyoruz ve ilk noktayı en alta tekrar ekliyoruz:

  • $x_1=2, y_1=3$
  • $x_2=6, y_2=7$
  • $x_3=4, y_3=9$
  • $x_1=2, y_1=3$ (Hesaplama kolaylığı için ilk noktayı tekrar yazdık)

• 3. Adım: Sağ Çapraz Çarpımları Hesaplayalım

  Şimdi, yukarıdan aşağıya ve sağa doğru olan çapraz çarpımları toplayalım:

  • $x_1 \times y_2 = 2 \times 7 = 14$
  • $x_2 \times y_3 = 6 \times 9 = 54$
  • $x_3 \times y_1 = 4 \times 3 = 12$
  • Bu çarpımların toplamı: $14 + 54 + 12 = 80$

• 4. Adım: Sol Çapraz Çarpımları Hesaplayalım

  Şimdi de, aşağıdan yukarıya ve sağa doğru (veya yukarıdan aşağıya ve sola doğru) olan çapraz çarpımları toplayalım:

  • $y_1 \times x_2 = 3 \times 6 = 18$
  • $y_2 \times x_3 = 7 \times 4 = 28$
  • $y_3 \times x_1 = 9 \times 2 = 18$
  • Bu çarpımların toplamı: $18 + 28 + 18 = 64$

• 5. Adım: Alan Formülünü Uygulayalım

  Son olarak, bulduğumuz toplamları formülde yerine koyarak üçgenin alanını hesaplayalım:

  • Alan $= \frac{1}{2} | (\text{Sağ Çapraz Çarpımlar Toplamı}) - (\text{Sol Çapraz Çarpımlar Toplamı}) |$
  • Alan $= \frac{1}{2} | 80 - 64 |$
  • Alan $= \frac{1}{2} | 16 |$
  • Alan $= \frac{1}{2} \times 16$
  • Alan $= 8$ birimkare

Buna göre, ABC üçgeninin alanı $8$ birimkaredir.

Cevap B seçeneğidir.