10. Sınıf Üçgende Alan Test 2

Bir üçgenin iki kenarı 10 cm ve 14 cm, bu kenarlar arasındaki açı ise 120°'dir. Bu üçgenin alanı kaç cm²'dir?

A) \(35\sqrt{3}\)
B) \(70\sqrt{3}\)
C) \(35\)
D) \(70\)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir üçgenin iki kenar uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açı verilmiş. Bizden bu üçgenin alanını bulmamız isteniyor. Bu tür durumlarda kullanabileceğimiz özel bir alan formülü bulunmaktadır. Haydi adım adım bu formülü kullanarak soruyu çözelim.

• Verilen Bilgileri Belirleyelim:
  • Üçgenin birinci kenarı ($a$) = $10$ cm
  • Üçgenin ikinci kenarı ($b$) = $14$ cm
  • Bu iki kenar arasındaki açı ($\theta$) = $120^\circ$
• Üçgenin Alan Formülünü Hatırlayalım:

  Bir üçgenin iki kenarı ve bu kenarlar arasındaki açı biliniyorsa, üçgenin alanı şu formülle bulunur:

  Alan $= \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(\theta)$

• Değerleri Formülde Yerine Koyalım:

  Şimdi verilen kenar uzunluklarını ve açıyı formülde yerine yazalım:

  Alan $= \frac{1}{2} \times 10 \times 14 \times \sin(120^\circ)$

• $\sin(120^\circ)$ Değerini Hesaplayalım:

  Trigonometrik bilgimizden, $\sin(120^\circ)$ değerinin $\sin(180^\circ - 60^\circ)$'ye eşit olduğunu ve bunun da $\sin(60^\circ)$'ye eşit olduğunu biliyoruz. $\sin(60^\circ)$'nin değeri ise $\frac{\sqrt{3}}{2}$'dir.

  Yani, $\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

• Alan Hesabını Tamamlayalım:

  Bulduğumuz $\sin(120^\circ)$ değerini formüle geri yerleştirelim:

  Alan $= \frac{1}{2} \times 10 \times 14 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

  Şimdi çarpma işlemlerini yapalım:

  Alan $= ( \frac{1}{2} \times 10 ) \times 14 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

  Alan $= 5 \times 14 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

  Alan $= 70 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

  Alan $= \frac{70\sqrt{3}}{2}$

  Alan $= 35\sqrt{3}$ cm$^2$

Böylece üçgenin alanını $35\sqrt{3}$ cm$^2$ olarak bulmuş olduk.

Cevap A seçeneğidir.