9. Sınıf Gerçek Sayıların Üslü ve Köklü Gösterimleri ile Yapılan İşlemler Nedir? Test 2

\( \sqrt{75} + \sqrt{48} - \sqrt{27} \) işleminin sonucu kaçtır?

A) \( 4\sqrt{3} \)
B) \( 5\sqrt{3} \)
C) \( 6\sqrt{3} \)
D) \( 7\sqrt{3} \)

Bu soruyu çözmek için, köklü ifadeleri en sade hallerine getirmemiz ve ardından toplama-çıkarma işlemlerini yapmamız gerekiyor. Kök içindeki sayıları, bir tam kare sayı ile başka bir sayının çarpımı şeklinde yazmaya çalışacağız.

• Adım 1: İlk köklü ifadeyi sadeleştirelim: $ \sqrt{75} $

  75 sayısının en büyük tam kare çarpanını bulalım. 75 sayısı, $25 \times 3$ olarak yazılabilir. Burada 25 bir tam karedir ($5^2$).

  $ \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} $

  Kök dışına çıkarırsak:

  $ \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3} $

• Adım 2: İkinci köklü ifadeyi sadeleştirelim: $ \sqrt{48} $

  48 sayısının en büyük tam kare çarpanını bulalım. 48 sayısı, $16 \times 3$ olarak yazılabilir. Burada 16 bir tam karedir ($4^2$).

  $ \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} $

  Kök dışına çıkarırsak:

  $ \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3} $

• Adım 3: Üçüncü köklü ifadeyi sadeleştirelim: $ \sqrt{27} $

  27 sayısının en büyük tam kare çarpanını bulalım. 27 sayısı, $9 \times 3$ olarak yazılabilir. Burada 9 bir tam karedir ($3^2$).

  $ \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} $

  Kök dışına çıkarırsak:

  $ \sqrt{9} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3} $

• Adım 4: Sadeleştirilmiş ifadeleri birleştirelim ve işlemi yapalım.

  Şimdi orijinal ifadeyi sadeleştirilmiş halleriyle tekrar yazalım:

  $ \sqrt{75} + \sqrt{48} - \sqrt{27} = 5\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} $

  Tüm terimlerin kök içi ($ \sqrt{3} $) aynı olduğu için, katsayılarını toplayıp çıkarabiliriz:

  $ (5 + 4 - 3)\sqrt{3} $

  Önce toplama işlemini yapalım:

  $ (9 - 3)\sqrt{3} $

  Şimdi çıkarma işlemini yapalım:

  $ 6\sqrt{3} $

İşlemin sonucu $ 6\sqrt{3} $ olarak bulunur.

Cevap C seçeneğidir.