Sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim. Bir eşkenar üçgenin yüksekliğini bulmak için geometri bilgilerimizi kullanacağız.
- Adım 1: Eşkenar Üçgenin Özelliklerini Hatırlayalım
- Bir eşkenar üçgenin tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir. Sorumuzda bu uzunluk $10$ cm olarak verilmiştir.
- Ayrıca, bir eşkenar üçgenin tüm iç açıları da $60^\circ$'dir.
- Adım 2: Yüksekliği Çizelim ve Oluşan Şekli İnceleyelim
- Bir eşkenar üçgende, bir köşeden karşı kenara indirilen yükseklik, aynı zamanda o kenarı iki eşit parçaya böler (kenarortaydır) ve o köşedeki açıyı da iki eşit parçaya böler (açıortaydır).
- Yüksekliği çizdiğimizde, eşkenar üçgeni iki tane eş (birbirinin aynısı) dik üçgene ayırmış oluruz.
- Bu dik üçgenlerin açıları $30^\circ$, $60^\circ$ ve $90^\circ$ olur. Çünkü tepe açısı $60^\circ$ idi ve yükseklik onu ikiye böldü ($30^\circ$ oldu), taban açısı $60^\circ$ ve yükseklik tabana dik indiği için $90^\circ$ açı oluştu.
- Adım 3: Oluşan Dik Üçgenin Kenarlarını Belirleyelim
- Oluşan dik üçgenin hipotenüsü (en uzun kenarı), eşkenar üçgenin bir kenarıdır. Yani hipotenüs $10$ cm'dir.
- Yükseklik, eşkenar üçgenin tabanını iki eşit parçaya böldüğü için, dik üçgenin bir dik kenarı (tabanı) $10 \text{ cm} / 2 = 5 \text{ cm}$ olur. Bu kenar, $30^\circ$'nin karşısındaki kenardır.
- Aradığımız yükseklik ise bu dik üçgenin diğer dik kenarıdır. Bu kenar, $60^\circ$'nin karşısındaki kenardır.
- Adım 4: $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ Özel Dik Üçgen Özelliklerini Kullanalım
- Bu özel dik üçgende kenarlar arasında belirli bir oran vardır:
- $30^\circ$'nin karşısındaki kenar $a$ ise,
- $60^\circ$'nin karşısındaki kenar $a\sqrt{3}$ olur,
- $90^\circ$'nin karşısındaki kenar (hipotenüs) $2a$ olur.
- Bizim dik üçgenimizde:
- $90^\circ$'nin karşısı (hipotenüs) $10$ cm'dir. Bu durumda $2a = 10 \text{ cm}$ ise, $a = 5 \text{ cm}$'dir.
- $30^\circ$'nin karşısındaki kenar $5$ cm'dir (bu, eşkenar üçgenin tabanının yarısıdır ve $a$ değerimize eşittir).
- $60^\circ$'nin karşısındaki kenar ise eşkenar üçgenin yüksekliğidir. Bu da $a\sqrt{3}$ formülünden $5\sqrt{3}$ cm olur.
- Adım 5: Sonucu Belirleyelim
- Eşkenar üçgenin yüksekliği $5\sqrt{3}$ cm'dir.
Cevap A seçeneğidir.
