🎓 Trigonometri açı ölçü birimleri 11. sınıf Test 2 - Ders Notu
Bu ders notu, trigonometri testinde karşılaşabileceğin açı birimleri (derece, radyan, grad) arasındaki dönüşümler ve açıların esas ölçüsünü bulma konularını basitleştirerek özetlemektedir. Hazır ol, başlıyoruz! 🚀
📌 Yönlü Açılar ve Temel Açı Birimleri
Trigonometride açılar sadece büyüklükleriyle değil, yönleriyle de önemlidir. Bir açının başlangıç kenarından bitim kenarına doğru saat yönünün tersine dönülürse bu açıya **pozitif yönlü açı**, saat yönünde dönülürse **negatif yönlü açı** denir.
- Derece (D): Bir tam çember yayının 360'ta birini gören merkez açının ölçüsüdür. Yani bir tam tur $360^\circ$'dir. 📏
- Radyan (R): Bir çemberde yarıçap uzunluğundaki yayı gören merkez açının ölçüsüdür. Bir tam tur $2\pi$ radyandır. Genellikle $\pi$ sembolü ile ifade edilir. 🌌
- Grad (G): Bir tam çember yayının 400'de birini gören merkez açının ölçüsüdür. Bir tam tur $400$ grad'dır. Daha az kullanılan bir birimdir. 📐
💡 İpucu: Pozitif yön saat yönünün tersi, negatif yön ise saat yönüdür. Bu bilgiyi unutma!
🔄 Açı Birimleri Arası Dönüşümler
Farklı açı birimlerini birbirine çevirmek, trigonometride sıkça yapacağın bir işlemdir. Temel dönüşüm formülü şöyledir:
$ rac{D}{180} = rac{R}{\pi} = rac{G}{200}$
- Bu formül sayesinde herhangi bir birimdeki açıyı diğer birime kolayca çevirebilirsin.
- En sık kullanılan dönüşüm: $180^\circ = \pi$ radyan'dır.
- Örneğin, $30^\circ$'yi radyana çevirmek için: $ rac{30}{180} = rac{R}{\pi} \implies rac{1}{6} = rac{R}{\pi} \implies R = rac{\pi}{6}$ radyan.
- Örneğin, $ rac{\pi}{4}$ radyanı dereceye çevirmek için: $ rac{D}{180} = rac{ rac{\pi}{4}}{\pi} \implies rac{D}{180} = rac{1}{4} \implies D = rac{180}{4} = 45^\circ$.
⚠️ Dikkat: Radyan cinsinden verilen açılarda $\pi$ yerine $180^\circ$ yazmak, özellikle dereceye çevirirken pratik bir yöntemdir. Örneğin $ rac{2\pi}{3} = rac{2 \times 180^\circ}{3} = 2 \times 60^\circ = 120^\circ$.
🎯 Esas Ölçü
Bir açının esas ölçüsü, o açının $0^\circ$ ile $360^\circ$ (veya $0$ ile $2\pi$ radyan) arasındaki eşdeğeridir. Yani, bir tam turdan sonra aynı yere gelen açının ilk turdaki karşılığıdır. 🧭
- Derece Cinsinden Esas Ölçü Bulma:
- Verilen açıyı $360^\circ$'ye böl. Kalan, açının esas ölçüsüdür.
- Eğer açı negatifse, bulduğun kalana $360^\circ$ ekleyerek pozitif hale getir.
- Örnek: $400^\circ$ esas ölçüsü: $400 \div 360 = 1$ (kalan $40$). Yani esas ölçü $40^\circ$'dir.
- Örnek: $-100^\circ$ esas ölçüsü: $-100 + 360 = 260^\circ$. (Negatifse $360^\circ$'nin katlarını ekleyerek pozitif yapana kadar devam et.)
- Radyan Cinsinden Esas Ölçü Bulma:
- Verilen açının payını, paydasının iki katına böl. Kalanı alıp, paydanın yerine yazarak esas ölçüyü bulursun. ($ rac{a\pi}{b}$ için, $a$'yı $2b$'ye böl, kalanı $k$ ise, esas ölçü $ rac{k\pi}{b}$ olur.)
- Eğer açı negatifse, $2\pi$'nin katlarını ekleyerek pozitif hale getir.
- Örnek: $ rac{7\pi}{3}$ esas ölçüsü: $7$'yi $(3 \times 2 = 6)$'ya böleriz. $7 \div 6 = 1$ (kalan $1$). Yani esas ölçü $ rac{1\pi}{3} = rac{\pi}{3}$'tür.
- Örnek: $ rac{-11\pi}{4}$ esas ölçüsü: Önce $ rac{-11}{4}$'e $2\pi$'nin katlarını ekleyerek pozitif yapalım. $ rac{-11\pi}{4} + rac{16\pi}{4} = rac{5\pi}{4}$ (çünkü $4 \times 2 = 8$, $2\pi = rac{8\pi}{4}$, $ rac{-11\pi}{4} + 2 \times rac{8\pi}{4} = rac{-11\pi + 16\pi}{4} = rac{5\pi}{4}$)
💡 İpucu: Esas ölçü her zaman $0^\circ \le \alpha < 360^\circ$ veya $0 \le \alpha < 2\pi$ aralığında olmalıdır. Asla negatif olamaz ve bir tam turdan büyük olamaz.
