Sevgili öğrenciler, bu tür basamak değerleri soruları, sayıların yapısını anlamak için harika bir yoldur. Gelin, soruyu adım adım inceleyelim ve çözümünü bulalım.
- Öncelikle, dört basamaklı sayımızı genel bir ifadeyle gösterelim. Rakamları sıfırdan farklı olduğu için, her bir rakam 1'den 9'a kadar bir değer alabilir. Sayımız $ABCD$ olsun. Bu sayının basamak değerleri toplamı şeklinde yazılışı şöyledir:
$1000A + 100B + 10C + D$
Burada $A$ binler basamağı, $B$ yüzler basamağı, $C$ onlar basamağı ve $D$ birler basamağıdır.
- Soruda binler basamağındaki rakam ($A$) ile onlar basamağındaki rakam ($C$) yer değiştiriliyor. Yeni sayımız $CBAD$ şeklinde olacaktır. Bu yeni sayının basamak değerleri toplamı ise şöyledir:
$1000C + 100B + 10A + D$
- Sayı yer değiştirdikten sonra 6300 azalıyormuş. Bu, ilk sayıdan ikinci sayıyı çıkardığımızda sonucun 6300 olması gerektiği anlamına gelir:
(İlk Sayı) - (Yeni Sayı) = 6300
$(1000A + 100B + 10C + D) - (1000C + 100B + 10A + D) = 6300$
- Şimdi bu denklemi basitleştirelim. Parantezleri açarken işaretlere dikkat edelim:
$1000A + 100B + 10C + D - 1000C - 100B - 10A - D = 6300$
Benzer terimleri bir araya getirelim:
$(1000A - 10A) + (100B - 100B) + (10C - 1000C) + (D - D) = 6300$
$990A + 0B - 990C + 0D = 6300$
$990A - 990C = 6300$
- Denklemi $990$ parantezine alalım:
$990(A - C) = 6300$
- Şimdi $A - C$ farkını bulalım:
$A - C = \frac{6300}{990}$
$A - C = \frac{630}{99}$
- Burada önemli bir noktaya geldik. $A$ ve $C$ birer rakam olduğu için, farkları $A-C$ bir tam sayı olmalıdır. Ancak $630/99$ bir tam sayı değildir (yaklaşık 6.36 eder). Bu durum, sorudaki "6300 azalıyor" bilgisinde küçük bir sayısal hata olabileceğini düşündürmektedir. Sorunun doğru bir tam sayı çözümü olması için, azalan miktarın 990'ın tam katı olması gerekir.
- Seçenekler arasında doğru cevabı bulabilmek için, azalan miktarın 990'ın katı olan ve 6300'e yakın bir sayı olduğunu varsayalım.
990'ın 6 katı $990 \times 6 = 5940$
990'ın 7 katı $990 \times 7 = 6930$
Eğer sayı 5940 azalmış olsaydı, $A-C = 6$ olurdu.
Eğer sayı 6930 azalmış olsaydı, $A-C = 7$ olurdu.
Sorunun doğru cevabı B seçeneği (9) olduğuna göre, $A+C$ toplamının 9 olması gerekmektedir. Bu durumda $A-C$ farkının 7 olması, $A$ ve $C$ için uygun rakamlar bulmamızı sağlar. Dolayısıyla, sorudaki azalış miktarının aslında 6930 olması gerektiğini varsayarak devam edelim.
- Eğer $A - C = 7$ ise, $A$ ve $C$ rakamları için olası değerleri bulalım. Rakamlar sıfırdan farklı olmalı ve 1 ile 9 arasında olmalıdır:
- Eğer $C=1$ ise, $A-1=7 \implies A=8$. Bu durumda $A$ ve $C$ rakamları $(8, 1)$ olur.
- Eğer $C=2$ ise, $A-2=7 \implies A=9$. Bu durumda $A$ ve $C$ rakamları $(9, 2)$ olur.
- $C$ daha büyük bir değer alamaz, çünkü $A$ en fazla 9 olabilir.
- Bizden bu iki rakamın toplamı isteniyor ($A+C$).
- İlk durumda $(A, C) = (8, 1)$ için $A+C = 8+1=9$.
- İkinci durumda $(A, C) = (9, 2)$ için $A+C = 9+2=11$.
- Seçeneklere baktığımızda, 9 ve 11 her ikisi de mevcuttur (B ve D seçenekleri). Sorunun doğru cevabı B seçeneği olarak verildiği için, $A+C=9$ olan durumu kabul etmemiz gerekir. Bu da $A=8$ ve $C=1$ rakamlarına karşılık gelir.
Cevap B seçeneğidir.
