Hangisi Q kümesinin özelliklerinden biri değildir?
A) Toplama işlemine göre kapalıdırMerhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, rasyonel sayılar kümesi $Q$'nun özelliklerini inceleyeceğiz. Rasyonel sayılar kümesi $Q$, $a$ bir tam sayı ve $b$ sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere $ rac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen tüm sayıları içerir. Şimdi seçenekleri tek tek değerlendirelim:
Bir küme, belirli bir işleme göre kapalıysa, o kümeden alınan herhangi iki elemanın o işlemle birleştirilmesi sonucunda elde edilen sonuç da yine aynı kümenin içinde olmalıdır. Rasyonel sayılar kümesi $Q$, toplama işlemine göre kapalıdır. Yani, iki rasyonel sayının toplamı her zaman bir rasyonel sayıdır.
Örnek: $ rac{1}{2}$ ve $ rac{1}{3}$ rasyonel sayılardır. Bu iki sayıyı toplarsak: $ rac{1}{2} + rac{1}{3} = rac{3}{6} + rac{2}{6} = rac{5}{6}$. Elde ettiğimiz $ rac{5}{6}$ sayısı da bir rasyonel sayıdır. Bu özellik doğrudur.
Benzer şekilde, rasyonel sayılar kümesi $Q$, çarpma işlemine göre de kapalıdır. Yani, iki rasyonel sayının çarpımı her zaman bir rasyonel sayıdır.
Örnek: $ rac{1}{2}$ ve $ rac{1}{3}$ rasyonel sayılardır. Bu iki sayıyı çarparsak: $ rac{1}{2} \times rac{1}{3} = rac{1}{6}$. Elde ettiğimiz $ rac{1}{6}$ sayısı da bir rasyonel sayıdır. Bu özellik doğrudur.
Rasyonel sayılar kümesi sonsuz elemanlıdır. Hatta herhangi iki rasyonel sayı arasında bile sonsuz çoklukta rasyonel sayı bulunur. Örneğin, $0$ ile $1$ arasında $ rac{1}{2}, rac{1}{3}, rac{1}{4}, \dots$ gibi sonsuz sayıda rasyonel sayı vardır. Bu özellik doğrudur.
Bu ifade yanlıştır. Bir sayının karekökünün rasyonel olması için o sayının tam kare bir rasyonel sayı olması gerekir. Rasyonel sayılar kümesindeki her elemanın karekökü rasyonel değildir.
Karşı Örnek: $2$ bir rasyonel sayıdır (çünkü $ rac{2}{1}$ olarak yazılabilir). Ancak $2$'nin karekökü olan $\sqrt{2}$ bir rasyonel sayı değildir. $\sqrt{2}$ irrasyonel bir sayıdır, yani $ rac{a}{b}$ şeklinde yazılamaz. Başka bir örnek olarak, $ rac{1}{2}$ rasyonel bir sayıdır, ancak $\sqrt{ rac{1}{2}} = rac{1}{\sqrt{2}} = rac{\sqrt{2}}{2}$ de irrasyoneldir. Bu özellik doğru değildir.
Yukarıdaki analizler sonucunda, rasyonel sayılar kümesi $Q$'nun özelliklerinden biri olmayan seçeneğin D olduğu açıkça görülmektedir.
Cevap D seçeneğidir.
