Kök İçinde Kesirli Sayılarla Nasıl İşlem Yapılır? Test 2

$$\sqrt{\frac{5}{7}} + \sqrt{\frac{7}{5}}$$ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir?

A) $$\frac{\sqrt{35}}{7} + \frac{\sqrt{35}}{5}$$
B) $$\frac{5+7}{\sqrt{35}}$$
C) $$\frac{12}{\sqrt{35}}$$
D) $$\frac{5\sqrt{7} + 7\sqrt{5}}{\sqrt{35}}$$

Bu tür köklü ifadeleri toplarken, öncelikle her bir terimi daha basit bir hale getirmemiz ve ardından paydaları eşitlememiz gerekir. Adım adım ilerleyelim:

• İlk olarak, verilen ifadeyi köklerin özelliklerini kullanarak yeniden yazalım. $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ kuralını uygulayarak her bir terimi ayrı ayrı yazabiliriz.
• Buna göre, $\sqrt{\frac{5}{7}}$ ifadesi $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ olur.
• Benzer şekilde, $\sqrt{\frac{7}{5}}$ ifadesi $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$ olur.
• Şimdi işlemimiz $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} + \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$ haline geldi.
• Bu iki kesri toplayabilmek için ortak bir payda bulmamız gerekiyor. Paydalarımız $\sqrt{7}$ ve $\sqrt{5}$ olduğu için ortak payda bu iki sayının çarpımı olan $\sqrt{7} \times \sqrt{5} = \sqrt{35}$ olacaktır.
• İlk kesir olan $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$'nin paydasını $\sqrt{35}$ yapmak için hem payı hem de paydayı $\sqrt{5}$ ile çarparız: $$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{5})^2}{\sqrt{7 \times 5}} = \frac{5}{\sqrt{35}}$$
• İkinci kesir olan $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$'in paydasını $\sqrt{35}$ yapmak için hem payı hem de paydayı $\sqrt{7}$ ile çarparız: $$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{(\sqrt{7})^2}{\sqrt{5 \times 7}} = \frac{7}{\sqrt{35}}$$
• Şimdi bu yeni hallerini toplayabiliriz: $$\frac{5}{\sqrt{35}} + \frac{7}{\sqrt{35}}$$
• Paydalar eşit olduğu için payları toplayabiliriz: $$\frac{5+7}{\sqrt{35}} = \frac{12}{\sqrt{35}}$$
• Bu sonuç, seçenekler arasında C seçeneği ile birebir uyuşmaktadır.

Cevap C seçeneğidir.