Aşağıdaki üçgenlerden hangisi hem eşkenar hem de dar açılı üçgendir?
A) Kenar uzunlukları 5 cm, 5 cm, 8 cm olan üçgen
B) Açıları 60°, 60°, 60° olan üçgen
C) Açıları 30°, 60°, 90° olan üçgen
D) Kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm, 10 cm olan üçgen
Sevgili öğrenciler, bu soruda hem 'eşkenar' hem de 'dar açılı' üçgenin özelliklerini anlamamız gerekiyor. Gelin, bu kavramları hatırlayalım ve seçenekleri tek tek inceleyelim.
- Eşkenar Üçgen Nedir? Tüm kenar uzunlukları birbirine eşit olan üçgendir. Eşkenar üçgenlerin aynı zamanda tüm iç açıları da birbirine eşittir ve her biri $60^\circ$dir.
- Dar Açılı Üçgen Nedir? Tüm iç açılarının ölçüsü $90^\circ$'den küçük olan üçgendir.
Şimdi seçenekleri bu tanımlara göre değerlendirelim:
- A) Kenar uzunlukları 5 cm, 5 cm, 8 cm olan üçgen
- Eşkenar mı? Hayır. Çünkü tüm kenar uzunlukları eşit değildir ($5 \text{ cm} \neq 8 \text{ cm}$). Bu bir ikizkenar üçgendir.
- Dar açılı mı? Hayır. Bir üçgende en uzun kenarın karşısındaki açı en büyük açıdır. Bu üçgende en uzun kenar $8 \text{ cm}$'dir. Kenar uzunlukları $a, b, c$ olan bir üçgende, eğer $c^2 > a^2 + b^2$ ise, $c$ kenarının karşısındaki açı geniş açıdır. Burada $8^2 = 64$ ve $5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$. Yani $64 > 50$ olduğu için $8 \text{ cm}$'lik kenarın karşısındaki açı geniş açıdır ($> 90^\circ$). Dolayısıyla bu üçgen dar açılı değildir, geniş açılı bir üçgendir.
- B) Açıları 60°, 60°, 60° olan üçgen
- Eşkenar mı? Evet. Bir üçgenin tüm iç açıları eşitse, o üçgenin tüm kenar uzunlukları da eşittir. Bu, eşkenar üçgenin temel bir özelliğidir.
- Dar açılı mı? Evet. Tüm açıları ($60^\circ$, $60^\circ$, $60^\circ$) $90^\circ$'den küçüktür. Bu da dar açılı üçgenin tanımına uyar.
- Sonuç: Bu üçgen hem eşkenar hem de dar açılıdır.
- C) Açıları 30°, 60°, 90° olan üçgen
- Eşkenar mı? Hayır. Tüm açıları eşit değildir ($30^\circ \neq 60^\circ \neq 90^\circ$).
- Dar açılı mı? Hayır. Bir açısı $90^\circ$ olduğu için bu üçgen bir dik açılı üçgendir. Dar açılı üçgen olması için tüm açılarının $90^\circ$'den küçük olması gerekir.
- D) Kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm, 10 cm olan üçgen
- Eşkenar mı? Hayır. Tüm kenar uzunlukları eşit değildir ($6 \text{ cm} \neq 8 \text{ cm} \neq 10 \text{ cm}$).
- Dar açılı mı? Hayır. Kenar uzunluklarına baktığımızda, Pisagor teoremini hatırlayalım: $a^2 + b^2 = c^2$. Burada $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ ve $10^2 = 100$. Yani $6^2 + 8^2 = 10^2$ eşitliği sağlanır. Bu, üçgenin bir dik açılı üçgen olduğunu gösterir ve en uzun kenarın ($10 \text{ cm}$) karşısındaki açı $90^\circ$'dir. Dolayısıyla bu üçgen dar açılı değildir.
Bu incelemeler sonucunda, hem eşkenar hem de dar açılı üçgenin özelliklerini taşıyan tek seçeneğin B olduğunu görüyoruz.
Cevap B seçeneğidir.
