9. Sınıf İstatistik Değişebilirlik Nedir? Test 2

Bir üretim hattındaki 10 adet ürünün ağırlıkları (gram): 100, 102, 98, 101, 99, 100, 97, 103, 100, 100 şeklindedir.
Bu veri seti için varyans değeri aşağıdakilerden hangisine en yakındır? (Hesaplamada $n$ yerine $n-1$ kullanınız)

A) 2.0
B) 2.5
C) 3.0
D) 3.5

Varyans, bir veri setindeki değerlerin aritmetik ortalamadan ne kadar saptığını gösteren bir ölçüdür. Yani, verilerin ne kadar dağınık olduğunu ifade eder. Varyansı hesaplamak için aşağıdaki adımları izleyeceğiz:

• Adım 1: Veri Setini ve Eleman Sayısını Belirleyelim.

• Veri seti (ağırlıklar): $100, 102, 98, 101, 99, 100, 97, 103, 100, 100$

  Toplam ürün sayısı (veri elemanı sayısı): $n = 10$

• Adım 2: Aritmetik Ortalamayı ($\bar{x}$) Hesaplayalım.

• Aritmetik ortalama, tüm veri değerlerinin toplamının veri elemanı sayısına bölünmesiyle bulunur.

  $\bar{x} = \frac{\text{Tüm ağırlıkların toplamı}}{\text{Ürün sayısı}}$

  $\bar{x} = \frac{100 + 102 + 98 + 101 + 99 + 100 + 97 + 103 + 100 + 100}{10}$

  $\bar{x} = \frac{1000}{10}$

  $\bar{x} = 100$ gram

• Adım 3: Her Bir Veri Noktasının Aritmetik Ortalamadan Farkını Bulalım ($x_i - \bar{x}$).

• $100 - 100 = 0$

  $102 - 100 = 2$

  $98 - 100 = -2$

  $101 - 100 = 1$

  $99 - 100 = -1$

  $100 - 100 = 0$

  $97 - 100 = -3$

  $103 - 100 = 3$

  $100 - 100 = 0$

  $100 - 100 = 0$

• Adım 4: Ortalamadan Bulunan Farkların Karelerini Alalım ($(x_i - \bar{x})^2$).

• $0^2 = 0$

  $2^2 = 4$

  $(-2)^2 = 4$

  $1^2 = 1$

  $(-1)^2 = 1$

  $0^2 = 0$

  $(-3)^2 = 9$

  $3^2 = 9$

  $0^2 = 0$

  $0^2 = 0$

• Adım 5: Karelerin Toplamını Bulalım ($\sum (x_i - \bar{x})^2$).

• Tüm kareleri toplayalım:

  $0 + 4 + 4 + 1 + 1 + 0 + 9 + 9 + 0 + 0 = 28$

• Adım 6: Varyansı Hesaplayalım.

• Varyans formülü (örneklem varyansı için, soruda belirtildiği gibi $n-1$ kullanarak):

  $s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$

  Burada $\sum (x_i - \bar{x})^2 = 28$ ve $n-1 = 10-1 = 9$ değerlerini yerine koyalım.

  $s^2 = \frac{28}{9}$

  $s^2 \approx 3.111...$

• Adım 7: Sonucu Seçeneklerle Karşılaştıralım.

• Hesapladığımız varyans değeri $3.111...$ şeklindedir.

  Seçenekler:

  A) $2.0$

  B) $2.5$

  C) $3.0$

  D) $3.5$

  En yakın seçenek $3.0$'dır.

Cevap C seçeneğidir.