10. Sınıf Ebob ve Ekok Özellikleri Test 4

4. Bir çiftçi, dikdörtgen şeklindeki tarlasının kenar uzunlukları $A$ ve $B$ metre olan iki farklı bölümünü çit ile ayırmak istiyor. Çiftçi, her iki bölümün kenar uzunluklarının da tam sayı olduğunu ve $A$ ile $B$ sayılarının EBOB'unun $6$ olduğunu biliyor. Ayrıca, $A$ ve $B$ sayılarının EKOK'u $180$'dir. Buna göre, $A+B$ toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A) $66$
B) $78$
C) $90$
D) $102$

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim. Unutmayın, matematik problemleri çözmek bir yolculuktur ve her adımda yeni şeyler öğreniriz!

• Adım 1: EBOB ve EKOK İlişkisini Hatırlayalım

İki sayının EBOB'u ile EKOK'unun çarpımı, bu iki sayının çarpımına eşittir. Yani, $A \cdot B = EBOB(A, B) \cdot EKOK(A, B)$

Bu soruda $EBOB(A, B) = 6$ ve $EKOK(A, B) = 180$ olarak verilmiş. O halde:

$A \cdot B = 6 \cdot 180 = 1080$

• Adım 2: A ve B Sayılarını EBOB Cinsinden İfade Edelim

$EBOB(A, B) = 6$ olduğundan, $A$ ve $B$ sayıları $6$'nın katlarıdır. Yani, $A = 6x$ ve $B = 6y$ şeklinde yazabiliriz. Burada $x$ ve $y$ aralarında asal olmalıdır (aksi takdirde EBOB 6 olmazdı).

• Adım 3: Yeni Denklemi Oluşturalım

$A \cdot B = 1080$ eşitliğinde $A$ ve $B$ yerine $6x$ ve $6y$ ifadelerini yazalım:

$(6x) \cdot (6y) = 1080$

$36xy = 1080$

$xy = \frac{1080}{36} = 30$

• Adım 4: x ve y Değerlerini Bulalım

$x$ ve $y$ aralarında asal ve çarpımları $30$ olan sayıları bulmalıyız. Olası durumlar şunlardır:

• $x = 1$, $y = 30$
• $x = 2$, $y = 15$ (2 ve 15 aralarında asal değil)
• $x = 3$, $y = 10$
• $x = 5$, $y = 6$

Bu durumda geçerli olan $(x, y)$ çiftleri: $(1, 30)$, $(3, 10)$ ve $(5, 6)$

• Adım 5: A ve B Değerlerini Hesaplayalım

Bulduğumuz $(x, y)$ çiftleri için $A = 6x$ ve $B = 6y$ değerlerini hesaplayalım:

• $(x, y) = (1, 30) \Rightarrow A = 6 \cdot 1 = 6, B = 6 \cdot 30 = 180 \Rightarrow A + B = 6 + 180 = 186$
• $(x, y) = (3, 10) \Rightarrow A = 6 \cdot 3 = 18, B = 6 \cdot 10 = 60 \Rightarrow A + B = 18 + 60 = 78$
• $(x, y) = (5, 6) \Rightarrow A = 6 \cdot 5 = 30, B = 6 \cdot 6 = 36 \Rightarrow A + B = 30 + 36 = 66$
• Adım 6: Şıklardaki Değerleri Karşılaştıralım

Bulduğumuz $A + B$ toplamları $66$, $78$ ve $186$'dır. Şıklarda $66$ ve $78$ var, ancak $90$ ve $102$ yok. Dolayısıyla $A+B$ toplamı $90$ olamaz.

Cevap C seçeneğidir.