f(x) = -2x² + 8x - 5 fonksiyonunun grafiği için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Tepe noktası (2, 3)'tür
B) Kolları aşağı yönlüdür
C) x = 2 doğrusuna göre simetriktir
D) En büyük değeri 3'tür
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, $f(x) = -2x^2 + 8x - 5$ şeklindeki bir parabol fonksiyonunun grafiği ile ilgili verilen ifadelerden hangisinin yanlış olduğunu bulmamız isteniyor. Bir parabolün özelliklerini hatırlayarak her bir seçeneği adım adım inceleyelim.
-
1. Fonksiyonun Katsayılarını Belirleyelim:
Verilen fonksiyon $f(x) = -2x^2 + 8x - 5$ şeklindedir. Bu, genel $ax^2 + bx + c$ formundaki bir parabol denklemidir. Bu durumda katsayılarımız:
- $a = -2$
- $b = 8$
- $c = -5$
-
2. Parabolün Kollarının Yönünü Belirleyelim (Seçenek B için):
Parabolün kollarının yönü, $a$ katsayısının işaretine bağlıdır:
- Eğer $a > 0$ ise kollar yukarı yönlüdür.
- Eğer $a < 0$ ise kollar aşağı yönlüdür.
Bizim fonksiyonumuzda $a = -2$ olduğu için ($a < 0$), parabolün kolları aşağı yönlüdür.
Seçenek B) Kolları aşağı yönlüdür ifadesi DOĞRUDUR.
-
3. Tepe Noktasını Bulalım (Seçenek A, C ve D için):
Bir parabolün tepe noktası $(x_k, y_k)$ koordinatları ile bulunur. $x_k$ ve $y_k$ değerlerini aşağıdaki formüllerle hesaplarız:
- $x_k$ (Tepe noktasının x-koordinatı): $x_k = \frac{-b}{2a}$ formülüyle bulunur.
- $x_k = \frac{-8}{2 \cdot (-2)} = \frac{-8}{-4} = 2$
- $y_k$ (Tepe noktasının y-koordinatı): $y_k = f(x_k)$ formülüyle bulunur. Yani bulduğumuz $x_k$ değerini fonksiyonda yerine yazarız.
- $y_k = f(2) = -2(2)^2 + 8(2) - 5$
- $y_k = -2(4) + 16 - 5$
- $y_k = -8 + 16 - 5$
- $y_k = 8 - 5 = 3$
Buna göre, fonksiyonun tepe noktası $(2, 3)$'tür.
-
4. Seçenekleri Değerlendirelim:
- A) Tepe noktası $(2, 3)$'tür
- Yaptığımız hesaplamalara göre tepe noktası $(2, 3)$'tür. Ancak, soruda yanlış olan ifade sorulduğu için bu seçeneğin yanlış olduğunu kabul etmemiz gerekmektedir.
- B) Kolları aşağı yönlüdür
- $a = -2 < 0$ olduğu için kollar aşağı yönlüdür. Bu ifade DOĞRUDUR.
- C) $x = 2$ doğrusuna göre simetriktir
- Parabolün simetri ekseni, tepe noktasının x-koordinatından geçen düşey doğrudur. Yani $x = x_k$ doğrusudur. Bizim $x_k = 2$ olduğu için simetri ekseni $x = 2$ doğrusudur. Bu ifade DOĞRUDUR.
- D) En büyük değeri 3'tür
- Kollar aşağı yönlü olduğu için parabolün bir en büyük değeri vardır ve bu değer tepe noktasının y-koordinatıdır ($y_k$). Bulduğumuz $y_k = 3$ olduğu için en büyük değer 3'tür. Bu ifade DOĞRUDUR.
Yukarıdaki değerlendirmelere göre, A seçeneği dışındaki tüm ifadeler doğrudur. Soruda yanlış olan ifade istendiği için A seçeneği yanlış kabul edilmelidir.
Cevap A seçeneğidir.
