Bir karenin kenar uzunluğu x cm'dir. Karenin alanı ile çevresi arasındaki farkı veren fonksiyon f(x) = x² - 4x'tir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir karenin kenar uzunluğu $x$ cm olarak verilmiş ve karenin alanı ile çevresi arasındaki farkı veren $f(x) = x^2 - 4x$ fonksiyonu tanımlanmıştır. Bizden bu fonksiyonla ilgili doğru ifadeyi bulmamız isteniyor. Adım adım inceleyelim:
Verilen fonksiyon $f(x) = x^2 - 4x$ bir parabol denklemi, yani ikinci dereceden bir fonksiyondur. Genel formu $ax^2 + bx + c$ şeklindedir. Bizim fonksiyonumuzda $a=1$, $b=-4$ ve $c=0$'dır.
Bir parabolün kolları, $x^2$'nin katsayısı olan $a$ değerine göre belirlenir. Eğer $a > 0$ ise kollar yukarı yönlüdür ve parabolün bir minimum değeri vardır. Eğer $a < 0$ ise kollar aşağı yönlüdür ve parabolün bir maksimum değeri vardır.
Bizim fonksiyonumuzda $a=1$ olduğu için ($1 > 0$), parabolün kolları yukarı yönlüdür ve bir minimum değeri vardır. Bu bilgi C seçeneğini elememizi sağlar.
Bir parabolün tepe noktası $(r, k)$ ile gösterilir. Burada $r$ değeri $r = -\frac{b}{2a}$ formülüyle bulunur. $k$ değeri ise $f(r)$ olarak hesaplanır.
Dolayısıyla, fonksiyonun tepe noktası $(2, -4)$'tür. Bu bilgi B seçeneğini elememizi sağlar.
Kollar yukarı yönlü olduğu için tepe noktasının $k$ değeri, fonksiyonun minimum değeridir. Yani, $f(x)$ fonksiyonunun minimum değeri $-4$'tür. Bu bilgi A seçeneğinin doğru olduğunu gösterir.
Bir fonksiyonun grafiğinin y-eksenini kestiği noktayı bulmak için $x=0$ değerini fonksiyonda yerine yazarız.
Yani, fonksiyonun grafiği y-eksenini $(0, 0)$ noktasında keser. Bu bilgi D seçeneğini elememizi sağlar.
Yukarıdaki adımları incelediğimizde, A seçeneğindeki ifadenin doğru olduğunu görmekteyiz.
Cevap A seçeneğidir.
