ABCD yamuğunda [AB] // [DC] ve köşegenler E noktasında kesişmektedir. |AE| = 6 cm, |EC| = 4 cm ve |DE| = 9 cm olduğuna göre |EB| kaç cm'dir?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
Aşağıdaki adımları takip ederek soruyu çözelim:
1. Benzer Üçgenleri Belirleyelim:
ABCD bir yamuk ve $[AB] // [DC]$ olduğu verilmiştir. Bu paralellik, köşegenlerin kesiştiği E noktasında oluşan üçgenler arasında bir benzerlik ilişkisi kurar.
Köşegenler E noktasında kesiştiğinde, $\triangle ABE$ ve $\triangle CDE$ üçgenleri benzerdir.
Bu benzerliğin nedenleri şunlardır: $[AB] // [DC]$ olduğundan, iç ters açılar eşittir ($\angle EAB = \angle ECD$ ve $\angle EBA = \angle EDC$). Ayrıca, E noktasında kesişen köşegenler ters açılar oluşturur ($\angle AEB = \angle CED$). Bu üç açı eşitliği (A.A.A. Benzerlik Kuralı) nedeniyle $\triangle ABE \sim \triangle CDE$ olur.
2. Benzerlik Oranını Yazalım:
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir. $\triangle ABE$ ve $\triangle CDE$ üçgenlerinin karşılıklı kenarlarını eşleştirdiğimizde, benzerlik oranı şu şekildedir: $ rac{|AE|}{|EC|} = rac{|EB|}{|ED|} = rac{|AB|}{|CD|}$.
3. Verilen Değerleri Yerine Koyalım:
Soruda bize verilen değerler $|AE| = 6$ cm, $|EC| = 4$ cm ve $|DE| = 9$ cm'dir. Bizden istenen $|EB|$ uzunluğudur.
Benzerlik oranının ilk iki kısmını kullanarak denklemimizi kuralım: $ rac{|AE|}{|EC|} = rac{|EB|}{|ED|}$.
Verilen değerleri bu denkleme yerine yazarsak: $ rac{6}{4} = rac{|EB|}{9}$.
4. $|EB|$ Uzunluğunu Hesaplayalım:
Denklemimizi çözmek için içler dışlar çarpımı yaparız: $6 \times 9 = 4 \times |EB|$.
Bu işlem $54 = 4 \times |EB|$ sonucunu verir.
Her iki tarafı 4'e böldüğümüzde $|EB|$ uzunluğunu buluruz: $|EB| = rac{54}{4}$.
Sadeleştirme yaparak $|EB|$ uzunluğunu $ rac{27}{2}$ veya $13.5$ cm olarak buluruz.
