A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin alt kümelerinden rastgele biri seçiliyor. Seçilen alt kümenin eleman sayısının çift olma olasılığı kaçtır?
A) 1/4
B) 1/2
C) 3/8
D) 5/16
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir kümenin alt kümeleri arasından rastgele seçilen bir alt kümenin eleman sayısının çift olma olasılığını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Toplam Alt Küme Sayısını Bulma
- Öncelikle, $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ kümesinin kaç tane alt kümesi olduğunu bulmalıyız.
- Bir kümenin eleman sayısı $n$ ise, bu kümenin toplam alt küme sayısı $2^n$ formülü ile bulunur.
- A kümesinin eleman sayısı $n = 5$'tir.
- Dolayısıyla, A kümesinin toplam alt küme sayısı $2^5 = 32$'dir. Bu, bizim örnek uzayımızın (tüm olası durumların) büyüklüğüdür.
- 2. Adım: Eleman Sayısı Çift Olan Alt Kümelerin Sayısını Bulma
- Şimdi, eleman sayısı çift olan alt kümeleri saymalıyız. A kümesinin 5 elemanı olduğu için, bir alt kümenin eleman sayısı 0, 1, 2, 3, 4 veya 5 olabilir.
- Eleman sayısı çift olan durumlar: 0 elemanlı, 2 elemanlı ve 4 elemanlı alt kümelerdir.
- 0 elemanlı alt kümeler: Bu sadece boş kümedir ($\emptyset$). $\binom{5}{0} = 1$ tanedir.
- 2 elemanlı alt kümeler: 5 elemanlı bir kümeden 2 eleman seçme sayısıdır. Bu, kombinasyon formülü ile bulunur: $\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ tanedir.
- 4 elemanlı alt kümeler: 5 elemanlı bir kümeden 4 eleman seçme sayısıdır. Bu da kombinasyon formülü ile bulunur: $\binom{5}{4} = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 5$ tanedir. (Unutmayın, $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ olduğu için $\binom{5}{4} = \binom{5}{1} = 5$ şeklinde de hesaplayabiliriz.)
- Eleman sayısı çift olan alt kümelerin toplam sayısı: $1 + 10 + 5 = 16$'dır.
- Ek Bilgi: Herhangi bir $n$ elemanlı küme için, eleman sayısı çift olan alt küme sayısı ile eleman sayısı tek olan alt küme sayısı birbirine eşittir ve her ikisi de $2^{n-1}$'e eşittir. Bu soruda $n=5$ olduğu için, eleman sayısı çift olan alt küme sayısı $2^{5-1} = 2^4 = 16$'dır. Bu pratik bilgiyi de aklınızda tutabilirsiniz!
- 3. Adım: Olasılığı Hesaplama
- Olasılık, istenen durum sayısının tüm durumların sayısına oranıdır.
- İstenen durum sayısı (eleman sayısı çift olan alt kümeler) = 16
- Tüm durumların sayısı (toplam alt küme sayısı) = 32
- Olasılık = $\frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Durumların Sayısı}} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$'dir.
Cevap B seçeneğidir.
