Bir matematik öğretmeni tahtaya A(1,4) ve B(13,28) noktalarını yazıyor ve öğrencilerden bu iki nokta arasına 2 nokta yerleştirmelerini istiyor. Buna göre, yerleştirilen noktalardan B'ye daha yakın olanın koordinatları nedir?
A) (5,12)
B) (7,16)
C) (9,20)
D) (11,24)
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, iki nokta arasına belirli sayıda başka noktalar yerleştirme ve bu noktaların koordinatlarını bulma becerimizi kullanacağız. Adım adım ilerleyerek bu tür problemleri nasıl çözeceğimizi görelim.
- Adım 1: Verilen Noktaları ve İstenen Durumu Anlayalım
- Bize verilen noktalar: $A(1,4)$ ve $B(13,28)$.
- Bu iki nokta arasına 2 nokta yerleştirmemiz isteniyor. Bu ne anlama geliyor? Eğer $A$ ve $B$ arasına $P_1$ ve $P_2$ adında iki nokta yerleştirirsek, toplamda 4 noktamız olur: $A, P_1, P_2, B$.
- Bu noktaların eşit aralıklarla yerleştirildiği varsayılır. Bu durumda, $A$ noktasından $B$ noktasına kadar 3 eşit parça oluşur: $AP_1$, $P_1P_2$ ve $P_2B$.
- Adım 2: Toplam Değişimi Hesaplayalım
- $A$ noktasından $B$ noktasına giderken $x$ ve $y$ koordinatlarında ne kadar değişim olduğunu bulalım.
- $x$ koordinatındaki toplam değişim: $\Delta x = x_B - x_A = 13 - 1 = 12$.
- $y$ koordinatındaki toplam değişim: $\Delta y = y_B - y_A = 28 - 4 = 24$.
- Adım 3: Her Bir Eşit Parçadaki Değişimi Bulalım
- Toplamda 3 eşit parçamız olduğu için, her bir parçada $x$ ve $y$ koordinatlarının ne kadar değiştiğini bulmak için toplam değişimi 3'e böleriz.
- Her bir parçadaki $x$ değişimi: $\frac{\Delta x}{3} = \frac{12}{3} = 4$.
- Her bir parçadaki $y$ değişimi: $\frac{\Delta y}{3} = \frac{24}{3} = 8$.
- Yani, bir noktadan bir sonraki noktaya geçerken $x$ koordinatı 4 artacak, $y$ koordinatı ise 8 artacaktır.
- Adım 4: Yerleştirilen Noktaların Koordinatlarını Bulalım
- Birinci nokta ($P_1$): $A$ noktasından bir parça ileride olduğu için, $A$'nın koordinatlarına her bir parçadaki değişimi ekleriz.
- $P_1$'in $x$ koordinatı: $x_{P_1} = x_A + 4 = 1 + 4 = 5$.
- $P_1$'in $y$ koordinatı: $y_{P_1} = y_A + 8 = 4 + 8 = 12$.
- Böylece, birinci nokta $P_1(5,12)$ olur.
- İkinci nokta ($P_2$): $A$ noktasından iki parça ileride olduğu için, $A$'nın koordinatlarına her bir parçadaki değişimin iki katını ekleyebiliriz. Ya da $P_1$ noktasından bir parça daha ilerleyebiliriz.
- $P_2$'nin $x$ koordinatı: $x_{P_2} = x_{P_1} + 4 = 5 + 4 = 9$. (Veya $x_{P_2} = x_A + 2 \times 4 = 1 + 8 = 9$).
- $P_2$'nin $y$ koordinatı: $y_{P_2} = y_{P_1} + 8 = 12 + 8 = 20$. (Veya $y_{P_2} = y_A + 2 \times 8 = 4 + 16 = 20$).
- Böylece, ikinci nokta $P_2(9,20)$ olur.
- Adım 5: B'ye Daha Yakın Olan Noktayı Belirleyelim
- Noktalarımız sırasıyla $A(1,4)$, $P_1(5,12)$, $P_2(9,20)$ ve $B(13,28)$ şeklindedir.
- $P_1$ noktası $A$'ya daha yakınken, $P_2$ noktası $B$'ye daha yakındır.
- Soruda bizden $B$'ye daha yakın olan noktanın koordinatları isteniyor. Bu da $P_2$ noktasıdır.
Yerleştirilen noktalardan $B$'ye daha yakın olanın koordinatları $(9,20)$'dir.
Cevap C seçeneğidir.
