Bir kenar uzunluğu \(2^4\) cm olan karenin alanı \(4^n\) cm² olarak ifade ediliyor. Buna göre n kaçtır?
A) 4Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir karenin kenar uzunluğu ve alanı arasındaki ilişkiyi üslü sayılarla birleştirerek $n$ değerini bulacağız. Adım adım ilerleyelim ve bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
Bir karenin alanı, bir kenar uzunluğunun kendisiyle çarpılmasıyla (yani karesi alınarak) bulunur. Eğer bir kenar uzunluğu $a$ ise, alan $A = a^2$ formülüyle hesaplanır.
Soruda bize karenin bir kenar uzunluğunun $2^4$ cm olduğu verilmiş. Şimdi bu değeri alan formülünde yerine koyalım:
$A = (2^4)^2$ cm²
Üslü sayılarda bir kural vardır: $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$. Bu kuralı kullanarak alan ifademizi sadeleştirelim:
$A = (2^4)^2 = 2^{4 \cdot 2} = 2^8$ cm²
Yani, bu karenin alanı $2^8$ cm²'dir.
Soruda bize bu karenin alanının $4^n$ cm² olarak da ifade edildiği söyleniyor. O zaman, bulduğumuz alan ile verilen ifadeyi birbirine eşitleyebiliriz:
$2^8 = 4^n$
Şimdi $n$ değerini bulmak için denklemin her iki tarafındaki sayıların tabanlarını aynı yapmaya çalışalım. $4$ sayısı, $2^2$ olarak yazılabilir. Bu bilgiyi denklemde yerine koyalım:
$2^8 = (2^2)^n$
Yine $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$ kuralını kullanarak denklemin sağ tarafını sadeleştirelim:
$2^8 = 2^{2 \cdot n}$
$2^8 = 2^{2n}$
Bir denklemin her iki tarafındaki tabanlar aynıysa, üsler de birbirine eşit olmalıdır. Bu durumda, üsleri eşitleyerek $n$ değerini bulabiliriz:
$8 = 2n$
Şimdi $n$'yi yalnız bırakmak için her iki tarafı $2$'ye bölelim:
$n = \frac{8}{2}$
$n = 4$
Böylece $n$ değerini $4$ olarak bulmuş olduk.
Cevap A seçeneğidir.
