P(x) = (a-4)x² + (b+3)x + c-2 polinomu sıfır polinomu olduğuna göre, a + b + c kaçtır?
A) 3Polinomlar konusu, cebirin temel taşlarından biridir. Bugün, "sıfır polinomu" kavramını kullanarak bir problem çözeceğiz. Bu tür sorular, polinomların temel özelliklerini anlamamız için harika bir fırsattır.
Bir polinomun sıfır polinomu olması demek, o polinomdaki tüm terimlerin katsayılarının sıfır olması demektir. Yani, $P(x) = A_n x^n + A_{n-1} x^{n-1} + ... + A_1 x + A_0$ şeklinde bir polinom sıfır polinomu ise, tüm katsayılar $A_n=0$, $A_{n-1}=0$, ..., $A_1=0$, $A_0=0$ olmalıdır. Bu, polinomun $x$'in hangi değeri için olursa olsun her zaman sıfıra eşit olduğu anlamına gelir.
Soruda bize verilen polinom $P(x) = (a-4)x^2 + (b+3)x + c-2$ şeklindedir. Bu polinomun sıfır polinomu olduğu açıkça belirtilmiştir. Bu bilgi, çözümümüzün anahtarıdır.
Sıfır polinomu tanımına göre, $P(x)$ polinomundaki her bir terimin katsayısı sıfır olmalıdır. Bu durumda, $x^2$ teriminin katsayısı, $x$ teriminin katsayısı ve sabit terim sıfıra eşit olmalıdır. Bu bize üç ayrı denklem verir:
1. $x^2$ teriminin katsayısı: $a-4 = 0$
2. $x$ teriminin katsayısı: $b+3 = 0$
3. Sabit terim: $c-2 = 0$
Şimdi kurduğumuz bu basit denklemleri çözerek $a$, $b$ ve $c$ değerlerini bulalım:
1. $a-4 = 0 \Rightarrow a = 4$
2. $b+3 = 0 \Rightarrow b = -3$
3. $c-2 = 0 \Rightarrow c = 2$
Son olarak, bulduğumuz $a$, $b$ ve $c$ değerlerini toplayarak istenen sonucu elde edelim:
$a + b + c = 4 + (-3) + 2$
$a + b + c = 4 - 3 + 2$
$a + b + c = 1 + 2$
$a + b + c = 3$
Gördüğünüz gibi, sıfır polinomu tanımını doğru bir şekilde uyguladığımızda çözüm oldukça kolaylaşıyor. Bu tür temel tanımları iyi bilmek, polinom sorularını çözerken size büyük avantaj sağlayacaktır.
Cevap A seçeneğidir.